131 7.2 Grenzwerte von Folgen 7.2 Grenzwerte von Folgen Intuitive Ermittlung von Grenzwerten L Die im vorigen Abschnitt betrachtete Folge (1 – 1 _ n | n * N*) = (0, 1 _ 2 , 2 _ 3 , 3 _ 4 , 4 _ 5 , …) hat noch eine bemerkenswerte Eigenschaft. Ihre Glieder nähern sich immer mehr der Zahl 1 und scheinen dieser Zahl sogar beliebig nahe zu kommen. 0 1 a2 a1 a3 a4a5 Nähern sich die Glieder einer Folge (an) „unbegrenzt“ einer einzigen bestimmten Zahl a (dh. kommen sie der Zahl a beliebig nahe), dann nennt man a den Grenzwert (Limes) der Folge und schreibt: a = lim n ¥ •a n [Lies: a ist der Limes von an für n gegen unendlich.] Es gilt also: lim n ¥ •(1 – 1 _ n ) = 1. Allerdings besitzt nicht jede Folge einen Grenzwert. Zum Beispiel hat die Folge (n 1 n * ℕ*) = (1, 2, 3, …) keinen Grenzwert. Definition Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt, und divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt. 7.11 Ermittle den Grenzwert der Folge (a n | n * ℕ*) mit a) a n = n + 1 _ 5 n + 3 , b) a n = n 2 + 1 _ 3 n 2 + 2 ! LÖSUNG a) Wir dividieren beim Folgenterm Zähler und Nenner durch n: n + 1 _ 5 n + 3 = 1 + 1 _ n _ 5 + 3 _ n Mit wachsendem n nähert sich der Zähler unbegrenzt der Zahl 1 und der Nenner unbegrenzt der Zahl 5. Somit gilt: lim n ¥ • n + 1 _ 5 n + 3 = 1 _ 5 . b) Wir dividieren beim Folgenterm Zähler und Nenner durch n 2: n 2 + 1 _ 3 n 2 + 2 = 1 + 1 _ n 2 _ 3 + 2 _ n 2 Mit wachsendem n nähert sich der Zähler unbegrenzt der Zahl 1 und der Nenner unbegrenzt der Zahl 3. Somit gilt: lim n ¥ • n 2 + 1 _ 3 n 2 + 2 = 1 _ 3 . 7.12 Ermittle den Grenzwert der Folge (a n | n * N*)! a) an = 2 _ n d) an = 6 n + 1 _ 2 n g) an = 4 · (1 – 2 _ n ) j) an = 1 _ n 2 b) an = 1 – 1 _ 5 n e) an = 1 _ 2 (2 – 1 _ n ) h) an = n _ n – 1 k) an = 1 _ n 2 + 1 c) an = n 2 + 2 _ 4 n 2 + 3 f) an = n 2 – 1 _ n 2 + 5 i) an = n + 2 _ 4 n 2 – 1 l) an = n 2 + 2 _ 3 n 2 – 5 7.13 Zeige, dass die Folge (a n | n * N*) eine „Nullfolge“ ist, dh. den Grenzwert 0 besitzt! a) an = n _ n 3 b) an = n 3 – 4 n _ n 4 – 4 c) an = n 10 – n 2 _ n 20 d) an = n _ n 4 – n 3 7.14 Betrachte die Folge ( n � _ n | n * N*)! Berechne mit Technologieeinsatz die Glieder für n = 100, 200, …, 1 000! Ergibt sich eine Vermutung über einen Grenzwert? AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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