130 7 FOLGEN 7.05 Ist die Folge (an 1 n * N*) nach oben bzw. unten beschränkt? Ist sie beschränkt? a) an = n + 3 c) an = (– 1) n · n e) a n = 2 g) an = | n | b) an = 2 – 3n d) an = (– 1) n · 1 _ n f) an = 2 · (n – 4) h) an = – � _ n 7.06 Zeige, dass die Zahl c eine obere Schranke der Folge (a n | n * ℕ*) ist! a) a n = 6 n – 1 _ 4 n + 1 , c = 2 b) a n = 3 n 2 + 1 __ 3n + n2 , c = 3 c) a n = 6 n + 2 _ 1 – 2 n , c=–2 7.07 Zeige, dass die Zahl c keine untere Schranke der Folge (a n | n * ℕ*) ist! a) a n = 2 n + 10 __ n , c = 2, 01 b) a n = 8 n + 1 _ 2 n – 1 , c = 4,1 c) a n = 2 – 10 n __ 1 – 2 n , c = 5,1 7.08 Finde zwei Beispiele für obere und zwei Beispiele für untere Schranken der Folge (a n | n * ℕ*)! a) a n = 6 n + 2 _ 2 n – 1 b) a n = 4 n – 1 _ n + 3 c) a n = 5 n _ n 2 + 1 d) a n = 1 + 5 _ 2 n Monotone Folgen L Die Glieder der Folge (1 – 1 _ n | n * ℕ*) = (0, 1 _ 2 , 2 _ 3 , 3 _ 4 , …) werden immer größer, dh. es gilt: a 1 < a 2 < a 3 < … . In Analogie zu Funktionen definiert man: Definition Eine Folge (a n | n * N*) heißt • monoton steigend, wenn a n ª a n + 1 für alle n * N*, • monoton fallend, wenn a n º a n + 1 für alle n * N*, • streng monoton steigend, wenn a n < a n + 1 für alle n * N*, • streng monoton fallend, wenn a n > a n + 1 für alle n * N*. Die Folge heißt (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend ist. BEISPIEL Die Folge (a n | n * N*) mit an = 5 n _ 2 n + 1 ist streng monoton steigend, denn es gilt: an < an + 1 É 5 n _ 2 n + 1 < 5 (n + 1) __ 2 (n + 1) + 1 É 5 n _ 2 n + 1 < 5 n + 5 _ 2 n + 3 É 5 n · (2 n + 3) < (5 n + 5) · (2 n + 1) É É 10 n2 + 15 n < 10 n2 +15n+5 Da die letzte Ungleichung für alle n * N* wahr ist, gilt auch die erste Ungleichung für alle n * N*. 7.09 Zeige, dass die Folge (a n | n * ℕ*) streng monoton steigend ist! a) a n = 3 n – 1 _ n + 4 b) a n = 6 n + 2 _ 4 n + 3 c) a n = n 2 + 1 _ 2 n + 1 d) a n = 1 + 2 n – 3 _ 1 + 2 n 7.10 Ermittle die ersten fünf Glieder der Zahlenfolge (a n | n * ℕ*), stelle eine Vermutung über das Monotonieverhalten auf und beweise deine Vermutung! a) a n = 4 n + 2 _ n c) a n = 5 n + 1 _ 2 n – 1 e) a n = n 2 – 1 _ n 2 + 1 g) a n = 2 n · n – 1 _ 2 n b) a n = 6 – 3 _ n d) a n = n + 3 _ 7 – 2 n f) a n = n 2 _ 5 – 2 n h) a n = 2 n + 1 _ 2 n AUFGABEN L AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=