129 7.1 Zahlenfolgen Folgen als Funktionen L Eine Folge (an 1 n * N*) kann man auch als eine Funktion f: N* ¥ R auffassen, die jeder von 0 verschiedenen natürlichen Zahl n den Funktionswert f(n) = an zuordnet. BEISPIEL D ie ersten fünf Glieder der Folge (1 – 1 _ n | n * N*) = (0, 1 _ 2 , 2 _ 3 , 3 _ 4 , 4 _ 5 , …) sind in Abb. 7.1 als Punkte auf einer Zahlengeraden dargestellt. Fasst man die Folge als Funktion f: N* ¥ R mit f(n) = an = 1 – 1 _ n auf, kann man sie auch durch den Graphen dieser Funktion wie in Abb. 7.2 darstellen. 1 2 a2 a1 a3 a4a5 2 3 3 4 4 5 0 1 Abb. 7.1 0 1 a1 a2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 n an Abb. 7.2 7.01 Berechne die ersten fünf Glieder der Folge (an 1 n * N*)! Stelle sie auf der Zahlengeraden dar und zeichne den Graphen der zugehörigen Funktion! a) an =2n+1 b) an = 1 – n c) an = 3 d) an = 2 · (– 1) n e) a n = 2 · (n – 4) 7.02 Gegeben ist die Folge (a n | n * ℕ*). Berechne die Folgenglieder a1, a2, a3, a5, a10, a20 und a100! a) a n = 5n –10 b) a n = (– 1) n _ n + 1 c) a n = 5 n – 1 _ 2 n – 1 d) a n = n · (– 1) n + 1 __ 2 7.03 Es sind fünf Glieder einer Folge (an 1 n * N*) gegeben. Finde eine möglichst einfache Termdarstellung, die zu dieser Folge gehören könnte! a) a1 = 1, a3 = 5, a4 = 7, a6 = 11, a7 = 13 c) a1 = – 1, a2 = 1, a3 = – 1, a5 = – 1, a7 = – 1 b) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, a5 = 13 d) a1 = 2, a2 = 5, a3 = 10, a5 = 26, a8 = 65 7.04 Die ersten drei Glieder einer Folge (an 1 n * N*) sind: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3. Gib eine möglichst einfache Termdarstellung an, die zu dieser Folge gehören könnte! Zeige durch Rechnung, dass für die Zahlen a1 , a2 , a3 auch gilt: an = – n 3 + 6 n2 – 10 n + 6! Was kann man daraus schließen? Beschränkte Folgen L Bei der Folge (3 – 4 _ n | n * N*) = (– 1, 1, 5 _ 3 , 2, …) gilt: – 1 ª an < 3 für alle n * N*. Diese Eigenschaft wird durch die folgenden Begriffe erfasst. Definition Sei (an 1 n * N*) eine Folge. (1) Eine reelle Zahl K heißt obere Schranke der Folge, wenn an ª K für alle n * N*. (2) Eine reelle Zahl L heißt untere Schranke der Folge, wenn an º L für alle n * N*. Die Folge heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn sie eine obere (untere) Schranke besitzt. Sie heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. BEISPIEL Die Folge (3 – 4 _ n ) | n * ℕ* = (– 1, 1, 5 _ 3 , 2, …) ist beschränkt, da –1 ª an < 3für alle n * ℕ*. Die Zahl 3 ist eine obere, die Zahl –1 eine untere Schranke der Folge. Jede Zahl K > 3 wäre ebenfalls eine obere Schranke, jede Zahl L < –1ebenfalls eine untere Schranke der Folge. kompakt S. 144 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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