121 6.3 Umkehrfunktionen Allgemein gilt: Satz Sind zwei reelle Funktionen f: A ¥ B und g: B ¥ A Umkehrfunktionen voneinander, dann liegen ihre Graphen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. BEWEIS Es sei F der Graph von f und G der Graph von g: F = {(x 1 y) | x * A ? y * B ? y = f (x)} G = {(y 1 x) | y * B ? x * A ? x = g(y)} Weil f und g Umkehrfunktionen voneinander sind, gilt für alle x * A und alle y * B: (x 1 y) * F É y = f (x) É x = g (y) É (y 1 x) * G Da die Punkte (x 1 y) und (y 1 x) symmetrisch bezüglich der 1. Mediane liegen, folgt daraus: Die Punkte von F und G gehen durch Spiegelung an der 1. Mediane auseinander hervor. 6.37 Skizziere den Graphen der Funktion f! Ermittle die Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge von f! Ist die Wertemenge eine echte Teilmenge der Zielmenge? a) f: R ¥ R mit f (x) = x c) f: R ¥ R mit f(x) = 2x b) f: R 0 + ¥ R mit f(x) = � _ x d) f: R+ ¥ R mit f (x) = log 10 x 6.38 Skizziere den Graphen der Funktion f! Ermittle die Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge von f! Schränke die Definitionsmenge oder die Zielmenge so ein, dass eine bijektive Funktion entsteht!! a) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 2 x 2 c) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 2 · 2 x b) f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = – x 2 d) f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = sin (x) 6.39 Welche der folgenden Funktionen f: ℝ ¥ ℝ sind bijektiv? (1) f(x) = 2x + 1 (3) f (x) = x 3 (5) f (x) = 1,5 x (2) f (x) = x 2 – 1 (4) f (x) = x 4 (6) f (x) = sin (2 x) 6.40 Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! Zeichne ihre Graphen und überprüfe, ob diese symmetrisch zur 1. Mediane liegen! a) f: R ¥ R mit f (x) = 2 x, g: R ¥ R mit g(x) = x _ 2 b) f: R 0 + ¥ R 0 + mit f (x) = x3, g: R 0 + ¥ R 0 + mit g(x) = 3 � _ x 6.41 Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! a) f: R ¥ R mit f (x) = kx + d, g: R ¥ R mit g(x) = x – d _ k (k * R*, d * R) b) f: R 0 + ¥ R 0 + mit f (x) = xn, g: R 0 + ¥ R 0 + mit g (x) = n � _ x (n * N*) c) f: R ¥ R+ mit f(x) = ax, g: R+ ¥ R mit g (x) = log a x (a * R+, a ≠ 1) 6.42 Die Funktion id: A ¥ A 1 x ¦ x heißt identische Funktion auf der Menge A. Zeige: Sind f: A ¥ A und g: A ¥ A Umkehrfunktionen voneinander, dann gilt (g ° f) = (f ° g) = id. x y 0 2. A. 1. A. x y (x|y) (y|x) 1. Mediane f g AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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