120 6 ERGÄNZUNGEN ZU FUNKTIONEN Umkehrfunktionen L Ist f: A ¥ B eine bijektive reelle Funktion, so kann man die Funktion f*: B ¥ A betrachten, die jedem Element y * B sein Urelement x * A bezüglich f zuordnet. Siehe nebenstehende Abbildung! Definition Sei f: A ¥ B eine bijektive reelle Funktion. Die Funktion f*: B ¥ A, die jedem Element y * B sein Urelement x * A bezüglich f zuordnet, nennt man die Umkehrfunktion der Funktion f. Ist f* die Umkehrfunktion von f, so ist klarerweise f die Umkehrfunktion von f*. Wir können also sagen: f und f* sind Umkehrfunktionen voneinander. An der nebenstehenden Abbildung erkennt man unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Satzes: Satz Die reellen Funktionen f: A ¥ B und g: B ¥ A sind genau dann Umkehrfunktionen voneinander, wenn für alle x * A und alle y * B gilt: y = f(x) É x = g(y) 6.35 Gegeben sind die Funktionen f: R 0 + ¥ R 0 + mit f (x) = x2 und g: R 0 + ¥ R 0 + mit g (x) = � _ x . a) Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! b) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g! Was fällt auf? LÖSUNG a) Für alle x * R 0 +und alle y * R 0 + gilt: y = f(x) É y = x2 É x = � _ y É x = g(y) b) Siehe nebenstehende Abbildung! Man erkennt: Die Graphen von f und g liegen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. 6.36 Gegeben sind die Funktionen f: R¥ R+ mit f(x) = 2 x und g: R+ ¥ R mit g (x) = log 2 x. a) Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! b) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g! Liegen auch diese Graphen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane? LÖSUNG a) Für alle x * R und alle y * R+ gilt: y = f(x) É y = 2 x É x = log 2 y É x = g (y) b) Siehe nebenstehende Abbildung! Auch diese Graphen liegen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. x f y = f(x) f* kompakt S. 123 x = g(y) f y = f(x) g Ó Applet 3yd9xs x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y f g 1. Mediane 0 1 2 3 4 2 3 4 y 1. Mediane g f x – 2 – 4 – 2 – 4 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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