118 6 ERGÄNZUNGEN ZU FUNKTIONEN 6.2 Verkettung von Funktionen Verkettung als Hintereinanderausführung L Um den Funktionswert h (x) = � _ x 2 + 1für eine konkrete Zahl x zu berechnen, kann man die Funktion h in die Funktion f: x ¦ x 2 + 1 und die Funktion g: x ¦ � _ xzerlegen. Man ermittelt dann zuerst f (x) = x 2 + 1 und anschließend g (f (x)) = � _ f (x). Insgesamt erhält man: h(x) = g(f (x)) = � _ f (x) = � _ x 2 + 1 Der Ausdruck g (f (x)) bedeutet: Man wendet zuerst auf die Zahl x die Funktion f an und erhält die Zahl f (x); anschließend wendet man auf die Zahl f (x) die Funktion g an und erhält die Zahl g (f (x)). Statt die Funktionen f und g hintereinander anzuwenden, kann man der Zahl x gleich die Zahl g (f (x)) zuordnen. Die Funktion, die dies leistet, wird mit g ° f bezeichnet (lies: „g Ring f“ oder „g nach f“) und heißt Verkettung von f und g. Damit man g ° f bilden kann, muss vorausgesetzt werden, dass jeder Funktionswert f (x) in der Definitionsmenge von g liegt, dh. die Wertemenge von f muss eine Teilmenge der Definitionsmenge von g sein. Definition Es seien f und g zwei reelle Funktionen mit der Eigenschaft, dass die Wertemenge von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von g ist. Dann heißt die Funktion g ° f mit (g ° f)(x) = g(f (x)) die Verkettung der Funktionen f und g. 6.32 Gib einen Funktionsterm für (g ° f)(x) = g(f (x)) an! Ersetze dazu in g (x) das Argument x durch f (x)! a) f (x) = 3x 2, g (x) = � _ x e) f(x) = –x, g (x) = 2 x b) f(x) = 2x + 1, g (x) = 3 � _ x f) f(x) = 3x + 5, g (x) = x 4 c) f(x) = x – 2, g (x) = x 2 g) f(x) = 3x + π, g(x) = sinx d) f (x) = x 2, g(x)=x+1 h) f(x) = –kx (mit k > 0), g(x) = a x (mit a > 0) 6.33 Gib Termdarstellungen f (x) und g (x) zweier Funktionen f und g an, sodass h (x) = (g ° f) (x) gilt! a) h (x) = � _ sin x e) h (x) = 1 _ cos x i) h (x) = 10 – x _ 2 b) h (x) = sin2 x f) h (x) = 5 � _x 2 +x+1 j) h (x) = 1 _ 2 x c) h(x) = cosx –1 g) h(x) = (7x – 4)3 k) h (x) = tan †x† d) h (x) = cos (x – 1) h) h(x) = (x +1)7 l) h (x) = e– 2 x 6.34 Ermittle eine Termdarstellung für (g ° f) (x) und gib die größtmögliche Definitionsmenge von f an, sodass g ° f gebildet werden kann! a) f(x) = 5x + 5, g(x) = � _ x c) f (x) = x 2, g(x) = 1 _ x b) f(x) = 2x –10, g(x) = 3 � _ x d) f (x) = � _ x, g(x) = sinx x f f(x) g g(f(x)) g f kompakt S. 123 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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