115 6.1 Formeln und Funktionen 6.19 Wie schnell ein Körper auf einem Himmelskörper zu „Boden” fällt, hängt von der Fallbeschleunigung a auf diesem Himmelskörper ab. Der in der Zeit t zurückgelegte Weg s ist (ohne Berücksichtigung eines allfälligen atmosphärischen Widerstandes) gegeben durch s = a _ 2 · t 2. 1) Welche der Funktionen a ¦ s (t konstant) und t ¦ s (a konstant) sind linear? Wenn eine dieser Funktionen von einem anderen Typ ist, gib diesen an! 2) Welches der nebenstehenden Schaubilder könnte die Funktion t ¦ s (a konstant) darstellen? 6.20 Gegeben ist die Formel u = x _ yz 2 mit x, y, z, u * ℝ +. a) Welche Proportionalität besteht zwischen u und x? Von welchem Typ ist die Funktion u mit u (x) = x _ y z 2 ? b) Welche Proportionalität besteht zwischen u und y? Von welchem Typ ist die Funktion u mit u (y) = x _ y z 2 ? LÖSUNG Wenn nichts dazugesagt wird, wird stillschweigend angenommen, dass die nicht erwähnten Variablen der Formel konstant gehalten werden. a) u(x) = x _ y z 2 = 1 _ y z 2 · x. Das bedeutet: u ist zu x direkt proportional. Die Funktion u ist vom Typ f (x) = k · x. b) u(y) = x _ y z 2 = x _ z 2 · 1 _ y . Das bedeutet: u ist zu y indirekt proportional. Die Funktion u ist vom Typ f (x) = c · 1 _ x = c _ x . 6.21 Beantworte die folgenden Fragen für die Formel (mit x, y, z, u * R+)! a) u = x2 y z b) u = x 2 y _ z c) u = z 2 _ x y d) u = xy 2 _ 2 z 2 1) Zu welchen der Größen x, y, z ist u direkt proportional, zu welchen indirekt proportional? 2) Ist u zu x2, y2 bzw. z2 direkt oder indirekt proportional? 3) Von welchem Typ sind die Funktionen x ¦ u, y ¦ u, z ¦ u? 4) Wächst oder fällt u, wenn x wächst und y und z konstant bleiben? 6.22 Wie ändert sich z in der folgenden Formel, wenn von den Variablen x, y * R+ eine wächst und die andere konstant bleibt? a) z = x3 – y b) z = y _ x 2 c) z = 1 _ x – 1 _ y 6.23 In der folgenden Formel sind x, y * R+ und C ist eine Konstante. Wie ändert sich x, wenn y wächst? Können x und y beide zugleich wachsen? a) x – y = C b) x2 · y = C c) x _ y = C d) 1 _ x · y = C 6.24 Ein kegelförmiges Messglas wie in der Abbildung wird mit Flüssigkeit gefüllt. Es sei V (h) das Flüssigkeitsvolumen im Messglas, wenn der Flüssigkeitsspiegel die Höhe h erreicht hat. Leite mit Hilfe ähnlicher Dreiecke oder des Strahlensatzes die folgende Formel her: V (h) = π R 2 _ 3 H 2 h 3 1) Ist das Volumen V (h) zur Höhe h direkt proportional? 2) Auf das Wievielfache wächst das Flüssigkeitsvolumen, wenn die Höhe h verdoppelt, verdreifacht bzw. ver-a-facht wird? Begründe! 3) Auf dem Messglas sollen entlang einer Mantellinie Teilstriche für die Volumina 0,1; 0,2; … 1,0 ® angebracht werden. Was lässt sich über deren Abstände sagen? s t s t s t s t R r H h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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