114 6 ERGÄNZUNGEN ZU FUNKTIONEN 6.13 Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a: V (a) = a3. Beantworte die folgenden Fragen und begründe die Antworten mit Hilfe der Funktion a ¦ V (a)! 1) Wie verändert sich das Würfelvolumen, wenn jede Kantenlänge verdoppelt wird? 2) Um wie viel Prozent nimmt das Würfelvolumen ab, wenn jede Kante um 10% verkürzt wird? 3) Um wie viel Prozent muss jede Kante verlängert werden, damit das Würfelvolumen um 15% zunimmt? 6.14 Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Höhe h: V = a 2 · h _ 3 . Was bedeuten a, h, a2 und a2 · h? Beantworte außerdem die folgenden Fragen und begründe die Antworten mit Hilfe der Funktion V: (a, h) ¦ V (a, h)! 1) Um wie viel Prozent nimmt das Pyramidenvolumen zu, wenn jede Grundkante um 10% verlängert wird und die Höhe gleich bleibt? 2) Um wie viel Prozent nimmt das Pyramidenvolumen zu, wenn die Grundfläche um 10% vergrößert wird und die Höhe gleich bleibt? 3) Wie können a und h verändert werden, sodass das Pyramidenvolumen 12-mal so groß wird? 6.15 (Fortsetzung von 6.14) Zeichne den Graphen der folgenden Funktion! Sind die Funktionswerte zu den Argumenten proportional? Wenn ja, welche Art von Proportionalität liegt vor? a) h ¦ V (mit a = 2) b) V ¦ h (mit a = 2) c) a ¦ V (mit h = 0,4) d) a ¦ h (mit V = 10) 6.16 Stelle eine Formel für das Volumen V (x, y, z, h) des nebenstehend abgebildeten Körpers auf! a) Zeige durch Rechnung: V (x, y, r · z, r · h) = r · V (x, y, z, h)! Was sagt diese Gleichung aus? b) Verdoppelt sich das Volumen, wenn x, y, z und h verdoppelt werden? Begründe! c) Auf das Wievielfache müssen x, y, z und h zugleich vergrößert werden, damit das Volumen des Körpers auf das 125fache wächst? d) Gib vier verschiedene Möglichkeiten an, wie man x, y, z und h verändern kann, um das Volumen des Körpers zu verhundertfachen! Schreibe die entsprechenden Gleichungen an! 6.17 Stelle eine Formel für das Volumen V (x, y) des dargestellten Körpers auf! a) Welche der beiden Werte ist der größere, V (222, 444) oder V (444, 222)? Begründe zuerst ohne Berechnung und überprüfe anschließend rechnerisch! b) Beantworte die folgenden Fragen! Begründe die Antworten zuerst allgemein und überprüfe diese dann an selbst gewählten Zahlenbeispielen mittels Technologie! 1) Wie ändert sich das Volumen, wenn man x verdoppelt und y halbiert? 2) Wie ändert sich das Volumen, wenn man x halbiert und y verdoppelt? 6.18 Linsengleichung: 1 _ f = 1 _ g + 1 _ b (f = Brennweite der Linse, g = Gegenstandsweite, b = Bildweite). 1) Beantworte die folgende Frage anhand der Formel! Ist die Bildweite zur Gegenstandsweite direkt proportional, indirekt proportional oder keines von beidem? 2) Zeichne den Graphen der Funktion g ¦ b (für f = 50 cm und g > f)! z x y h x x y F1 F2 g b f M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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