113 6.1 Formeln und Funktionen 6.07 Wir gießen eine bestimmte Flüssigkeitsmenge der Reihe nach in zylindrische Messgläser, deren Grundfläche immer größer wird. Aus V = r2 π h folgt h = V _ r 2 π = V _ A , wobei A der Flächeninhalt der Grundfläche des Messglases ist. Da das Flüssigkeitsvolumen konstant bleibt, gilt: h (A) = V _ A (V konstant) 1) Wie ändert sich h (A), wenn A wächst bzw. wenn A verdoppelt wird? Begründe! 2) Wie muss A geändert werden, damit h (A) verdreifacht wird? Begründe! 3) Ist h (A) zu A direkt oder indirekt proportional? 4) Von welchem Typ ist die Funktion h: A ¦ h (A)? 5) Wie sieht der Graph dieser Funktion ungefähr aus? Wirkt sich derselbe kleine Fehler bei der Bestimmung des Grundflächeninhalts auf die Berechnung der Flüssigkeitshöhe stärker aus, wenn die Grundfläche klein oder wenn sie groß ist? 6.08 Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist A (a, b) = a · b. a) Zeige durch Rechnung: A (2 a, b) = 2 · A (a, b), A (a, 2 b) = 2 · A (a, b), A (2 a, 2 b) = 4 · A (a, b) Was sagen diese Gleichungen aus? Wie kann man sie auch geometrisch begründen? b) Ermittle durch Rechnung, um wie viel A zunimmt, wenn a und b beide um 1 vergrößert werden! Wie kann man dieses Resultat geometrisch begründen? 6.09 Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A (x, y) der nebenstehenden Figur auf! 1) Zeige durch Rechnung, dass die Figur flächengleich einem Rechteck mit den Seitenlängen x – y und x + y ist! Begründe dies auch geometrisch! 2) Zeige durch Rechnung: A (2 x, 2 y) = 4 · A (x, y)! Was sagt die Gleichung aus? 3) Ist es möglich, dass A (x, y) kleiner wird, wenn x und y beide wachsen? 6.10 Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h: V (r, h) = r 2 π h. a) Zeige durch Rechnung: V (3 r, h) = 9 · V (r, h), V (r, 3 h) = 3 · V (r, h), V (3 r, 3 h) = 27 · V (r, h) Was sagen diese Gleichungen aus? b) Ermittle t in der Gleichung V (5 · r, 5 · h) = t · V (r, h) und interpretiere das Ergebnis! 6.11 Stelle eine Formel für die Summe S (x, y, z) aller Kantenlängen eines Quaders mit den Seitenlängen x, y, z auf! a) Zeige: S (x + 1, y, z) = S (x, y, z) + 4! Was sagt die Gleichung aus? b) Schreibe eine entsprechende Gleichung für den Fall an, dass jede Kantenlänge um 1 vergrößert wird! 6.12 Stelle eine Formel für das Volumen V (r, x, y) des nebenstehend abgebildeten Turms auf! a) Zeige: V (2r, 2 x, 2 y) = 8 · V (r, x, y)! Was sagt die Gleichung aus? b) Auf das Wievielfache wächst das Volumen V, wenn r, x und y alle vervierfacht werden? Auf das Wievielfache müsste r allein vergrößert werden, um dieselbe Volumenszunahme zu erreichen? AUFGABEN R A1 A2 A3 A4 h1 h4 h3 h2 y y x x r h x y z r x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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