112 6 ERGÄNZUNGEN ZU FUNKTIONEN 6.05 Beantworte folgende Fragen für die Formel V (h) = r 2 π · h (r konstant). 1) Wie ändert sich das Volumen V (h), wenn h wächst? 2) Wie ändert sich V (h), wenn h verdoppelt wird? Begründe! 3) Wie muss h geändert werden, damit V (h) verdreifacht wird? Begründe! 4) Ist V (h) zu h direkt oder indirekt proportional? 5) Von welchem Typ ist die Funktion V: h ¦ V (h)? 6) Was lässt sich über den Graphen dieser Funktion aussagen? LÖSUNG Wir setzen r 2 π = k (konstant). Dann gilt: V (h) = k · h. 1) Wenn h wächst, dann wächst auch V(h). 2) V (h) wird verdoppelt, denn es gilt: V (2 · h) = k · (2 · h) = 2 · (k · h) = 2 · V (h) 3) h muss verdreifacht werden, denn es gilt: V (3 · h) = k · (3 · h) = 3 · (k · h) = 3 · V (h) 4) V (h) ist zu h direkt proportional mit dem Proportionalitätsfaktor k. 5) Die Funktion ist vom Typ x ¦ k · x, dh. eine direkte Proportionalitätsfunktion. 6) Der Graph ist eine Gerade durch O mit der Steigung k. 6.06 Beantworte folgende Fragen für die Formel V (r) = π h · r 2 (h konstant). 1) Wie ändert sich V (r), wenn r wächst? 2) Wie ändert sich V (r), wenn r verdoppelt wird? Begründe! 3) Wie muss r geändert werden, damit V (r) verdreifacht wird? 4) Ist V (r) zu r direkt oder indirekt proportional? 5) Von welchem Typ ist die Funktion V: r ¦ V (r)? 6) Was lässt sich über den Graphen dieser Funktion aussagen? LÖSUNG Wir setzen π h = c (konstant). Dann gilt: V (r) = c · r 2. 1) Wenn r wächst, dann wächst auch V (r). 2) V (2 · r) = c · (2 · r) 2 = c · (4 · r 2) = 4 · (c · r 2) = 4 · V (r). Das Volumen wird vervierfacht. 3) V (x · r) = 3 · V (r) É π h · (x · r) 2 = 3 · π h · r 2 É x 2 · r 2 = 3 · r 2 É x 2 = 3 Daraus folgt: x = � _ 3. Der Radius muss mit � _ 3multipliziert werden. 4) V (r) ist zu r weder direkt noch indirekt proportional. 5) Die Funktion ist vom Typ x ¦ c · x 2, dh. eine quadratische Funktion. 6) Der Graph ist Teil einer Parabel mit dem Scheitel S = (0 1 0). Die letzten beiden Aufgaben zeigen, dass die Betrachtung von Formeln unter dem Gesichtspunkt von Funktionen hilfreich sein kann, Fragen der folgenden Art zu beantworten: • Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere Größe in bestimmter Weise ändert? • Wie muss man eine Größe ändern, damit sich eine andere in bestimmter Weise ändert? • Ist eine Größe zu einer anderen direkt oder indirekt proportional? • Von welchem Typ ist der Zusammenhang zweier Größen? • Was lässt sich über die grafische Darstellung dieses Zusammenhangs aussagen? In der Formel V = r2 · π · h kann man durch Umformen noch mehr Funktionen entdecken: BEISPIEL Wir berechnen h aus dieser Formel: h = V _ π · r 2 In dieser Formel stecken ua. folgende Funktionen: • D ie Funktion h mit h (V) = V _ π · r 2 = 1 _ π · r 2 · V (r konstant) Typ: f (x) = k · x • D ie Funktion h mit h (r) = V _ π · r 2 = V _ π · 1 _ r 2 (V konstant) Typ: f (x) = c · 1 _ x 2 = c _ x 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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