104 5 WINKELFUNKTIONEN 5.25 a) Ermittle die kleinste Periode der Funktion s in Aufgabe 5.24 a)! b) Ermittle die kleinste Periode der Funktion s in Aufgabe 5.24 b)! c) Wie groß ist die kleinste Periode einer Funktion s mit s (t) = r · sin (ω · t)? 5.26 Beschreibe, wie sich die Amplitude, die Schwingungsdauer bzw. die Frequenz einer Schwingung ändert, wenn man von der Elongation s 0(t) zur Elongation s (t) übergeht! Skizziere die Graphen von s 0 und s in [0; 2 π] mit der freien Hand in einem gemeinsamen Koordinatensystem! Kontrolliere mit Technologieeinsatz! a) s 0(t) = sin (t), s (t) = 2 · sin (4 t) c) s 0(t) = sin (t), s (t) = 3 · sin (2,5 t) b) s 0(t) = sin (t), s (t) = 2,5 · sin (t) d) s 0(t) = sin (t), s (t) = 0,5 · sin (0,25 t) 5.27 Die Elongation einer harmonischen Schwingung wird durch die Funktion s beschrieben. Gib die Amplitude, die Schwingungsdauer und die Frequenz der Schwingung an! a) s (t) = 217 · sin (1 500 t) c) s (t) = 0,3 · sin (5,5 t) b) s (t) = 25 · sin (25 t) d) s (t) = 0,005 · sin (10 000 t) Kreisbewegung und harmonische Schwingung L Schwingungen kann man auf Kreisbewegungen zurückführen. Wir betrachten dazu einen Körper, der sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn mit dem Radius r im positiven Umlaufsinn bewegt. Er beginnt im Punkt P 0 = [r 1 0], befindet sich zum Zeitpunkt t im Punkt P t = [r 1 a (t)] und hat sich dabei auf einem Bogen um den Winkel mit dem Bogenmaß a (t) weiterbewegt. Lässt man Licht parallel zur 1. Achse einfallen und projiziert den Körper auf eine zur 1. Achse normale Wand, so führt der Schattenpunkt eine Schwingung aus. Für die Elongation s (t) (zweite Koordinate des Punktes P t ) gilt: s (t) = r · sin a (t) Da sich der Körper gleichmäßig entlang des Kreises bewegt, dh. in gleichen Zeiten gleiche Bogenlängen zurücklegt, ist a (t) direkt proportional zu t und es gilt a (t) = ω · t mit einem Proportionalitätsfaktor ω * ℝ +. Damit geht die obige Gleichung über in: s (t) = r · sin (ω · t) Dies entspricht einer harmonischen Schwingung. Der Proportionalitätsfaktor ω = a (t) _ t kann bei der Kreisbewegung als Winkelgeschwindigkeit gedeutet werden, denn er gibt das Maß des Drehwinkels des pro Zeiteinheit zurückgelegten Bogens an. Für die zugehörige harmonische Schwingung ergibt diese Deutung jedoch keinen Sinn. Um auch für die harmonische Schwingung einen sinnvollen Namen für ω zu finden, überlegt man so: Für einen vollen Umlauf auf dem Kreis ist ω = 2 π _ T = 2 π f. Bis auf den Faktor 2 π stimmt also die Winkelgeschwindigkeit ω mit der Frequenz f der Schwingung überein. Deshalb bezeichnet man ω als Kreisfrequenz der zur Kreisbewegung gehörigen harmonischen Schwingung. 0 a(t) s(t) Wand 1. A. 2. A. r Licht P0 Pt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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