100 5 WINKELFUNKTIONEN Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus R Satz Für alle x * ℝ gilt: (1) cosx = sin(x + π _ 2 ) (2) sinx = cos(x – π _ 2 ) • Im Einheitskreis erkennt man diese Zusammenhänge an den grau unterlegten, kongruenten Dreiecken. • Der Graph der Cosinusfunktion geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch eine Verschiebung um π _ 2 parallel zur x-Achse nach links hervor. • Der Graph der Sinusfunktion geht aus dem Graphen der Cosinusfunktion durch eine Verschiebung um π _ 2 parallel zur x-Achse nach rechts hervor. 0 1. A. 2. A. 1 1 cos x x sin (x+ ) x + 2 π 2 π sin(x), cos(x) cos sin x 1 0 –1 2π –2π π π_ 2 π_ 2 π_ 2 3π__ 2 -π - 1. A. 2. A. 1 1 x cos(x – ) sin x x – 2 π 2 π cos sin x 1 0 –1 2π –2π π π_ 2 π_ 2 π_ 2 3π__ 2 -π - sin(x), cos(x) Additionstheoreme L 5.20 Gilt für alle x * R 1) sin (x + y) = sin x + sin y, 2) cos(x + y) = cosx + cosy? LÖSUNG 1) Nein! Es gilt zB sin (π + π _ 2 ) = sin 3 π _ 2 = –1, aber sin π + sin π _ 2 =0+1=1. 2) Nein! Suche selbst ein Gegenbeispiel! Für sin (x ± y) und cos (x ± y) bzw. sin x ± sin y und cos x ± cos y gibt es folgende Formeln: Satz (Erstes Additionstheorem) Für alle x, y * ℝ gilt: (1) sin (x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y (3) cos (x + y) = cos x · cos y – sin x · sin y (2) sin (x – y) = sin x · cos y – cos x · sin y (4) cos (x – y) = cos x · cos y + sin x · sin y Satz (Zweites Additionstheorem) Für alle x, y * ℝ gilt: (1) sin x + sin y = 2 · sin x + y _ 2 · cos x – y _ 2 (3) cos x + cos y = 2 · cos x + y _ 2 · cos x – y _ 2 (2) sin x – sin y = 2 · cos x + y _ 2 · sin x – y _ 2 (4) cos x – cos y = – 2 · sin x + y _ 2 · sin x – y _ 2 5.21 Zeige mit Hilfe des ersten Additionstheorems, dass für alle x * R gilt: a) cos (– x) = cos x c) cosx = sin(x + π _ 2 ) e) sin (2 x) = 2 · sin x · cos x b) sin (– x) = – sin x d) sinx = cos(x – π _ 2 ) f) cos (2 x) = cos 2 x – sin2 x HINWEIS zu a) und b):–x=0–x HINWEIS zu e) und f):2x=x+x AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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