10 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.2 Potenzen mit Exponenten aus Z Definition von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten R Wir kennen schon Zehnerpotenzen mit der Hochzahl 0 und mit negativen Hochzahlen: 10 0 = 1 10 – 1 = 1 _ 10 10 – 2 = 1 _ 100 10 – 3 = 1 _ 1 000 usw. Allgemein definiert man: Definition Für alle a * ℝ* und alle n * ℕ* setzt man: (1) a 0 = 1 (2) a – n = 1 _ a n Insbesondere gilt: a – 1 = 1 _ a und 1 _ a – n = _ 1 1 _ a n = a n BEMERKUNG 0 0 ist nicht definiert. Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten R Die im vorigen Abschnitt bewiesenen Potenzregeln gelten weiterhin. Die Einführung von negativen Hochzahlen erweist sich dabei als Vorteil, da wir bei der Regel a m _ a n = a m – n nicht mehr m > n voraussetzen müssen. Die Beweise dieser Regeln finden sich im Anhang auf Seite 282. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten) Für alle a, b * ℝ* und alle m, n * ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (3) (a m) n = a m · n (5) ( a _ b ) n = a n _ b n (2) a m _ a n = a m – n (4) (a · b) n = a n · b n 1.25 Zeige, dass für alle a, b * ℝ* und alle n * ℤ gilt: ( a _ b ) – n = ( b _ a ) n LÖSUNG ( a _ b ) – n = 1 _ ( a _ b ) n = _ 1 a n _ b n = b n _ a n = ( b _ a ) n 1.26 Berechne: a) 2– 3 b) 4– 2 c) 0,2– 3 d) 0,05– 4 e) 1,4– 5 f) ( 1 _ 2 ) – 3 g) ( 3 _ 4 ) – 6 1.27 Berechne: a) (– 3)– 4 b) (– 5)– 3 c) – (0,5– 3) d) (– 0,02)– 4 e) (– 1,7)– 2 f) (– 1 _ 4 ) – 2 g) – ( 3 _ 4 ) – 1 1.28 Berechne: a) (– 3)0 b) (50)3 c) – (0,4– 3) · 0,43 d) ((1,7)– 2)0 e) (– 1 _ 4 ) – 1 · ( 1 _ 2 ) 2 f) (– ( 3 _ 4 ) – 1 · 3 0) – 2 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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