96 5 BERECHNUNGEN IN BELIEBIGEN DREIECKEN Umrechnungen: Polarkoordinaten kartesische Koordinaten Obwohl bei der Landvermessung die Polarkoordinaten von Geländepunkten vermessen werden, müssen in das Grundbuch die kartesischen Koordinaten eingetragen werden. Somit müssen die Polarkoordinaten in die kartesischen Koordinaten umgerechnet werden. Aus den Formeln sin φ = y _ r , cos φ = x _ r , tan φ = y _ x und x 2 + y 2 = r 2 erhält man folgende Formeln: Umrechnungsformeln für Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten Polarkoordinaten ¥ kartesische Koordinaten: x = r · cos φ, y = r · sin φ kartesische Koordinaten ¥ Polarkoordinaten: r = � _____ x 2 + y 2 , tan φ = y _ x (falls x ≠ 0, dh. φ ≠ 90° und φ ≠ 270°) 5.06 a) Berechne die kartesischen Koordinaten des Punktes P = [10 1 248°]! b) Berechne die Polarkoordinaten des Punktes P = (5 1 12)! LÖSUNG a) x = r · cos φ = 10 · cos 248° ≈ – 3,75, y = r · sin φ = 10 · sin 248° ≈ – 9,27 b) r = � _____ x 2 + y 2 = � ______ 5 2 + 12 2 = � ___ 169= 13, tan φ = 12 _ 5 w φ ≈ 67,38° Bei der Anwendung der Formel tan φ = y _ x kann es passieren, dass bei Technologieeinsatz ein negatives Winkelmaß φ* angezeigt wird. Das bedeutet, dass φ* ausgehend von der positiven 1. Achse nicht entgegen dem Uhrzeigersinn, sondern im Uhrzeigersinn gemessen wird. 5.07 Berechne die Polarkoordinaten des angegebenen Punktes! 1) P = (3 1 4) 2) Q = (– 3 1 4) 3) R = (– 3 1 – 4) 4) S = (3 1 – 4) LÖSUNG In allen Fällen gilt: r = � __________ (± 3) 2 + (± 4)2 = � __ 25 = 5 Zur Berechnung von φ verwenden wir die Formel tan φ = y _ x . Mit Technologieeinsatz wird ein Winkelmaß φ* angezeigt. Anhand einer Skizze berechnen wir daraus jeweils das Polarwinkelmaß φ. 2. A. 1. A. 3 4 φ* P φ 2. A. 1. A. 4 – 3 φ* φ Q 2. A. 1. A. – 4 – 3 φ* φ R 3 2. A. 1. A. – 4 φ* φ S P = (3 1 4) * Q I φ* ≈ 53,1° φ = φ* ≈ 53,1° P ≈ [ 5 1 53,1° ] Q = (– 3 1 4) * Q II φ* ≈ – 53,1° φ ≈ 180° – 53,1° = 126,9° Q ≈ [ 5 1 126,9° ] R = (– 3 1 – 4) * Q III φ* ≈ 53,1° φ ≈ 53,1° + 180° = 233,1° R ≈ [ 5 1 233,1° ] S = (3 1 – 4) * Q IV φ* = – 53,1° φ ≈ 360° – 53,1° = 306,9° S ≈ [ 5 1 306,9° ] 5.08 Berechne die kartesischen Koordinaten des Punktes P! Runde auf zwei Nachkommastellen! a) P = [5 1 60°] b) P = [7,8 1 55°] c) P = [5 1 120°] d) P = [7 1 230°] e) P = [6 1 300°] 5.09 Berechne die Polarkoordinaten des Punktes P! Runde auf zwei Nachkommastellen! a) P = (3 1 4) b) P = (6 1 6) c) P = (– 4 1 5) d) P = (– 6 1 – 2) e) P = (3 1 – 8) kompakt S. 107 Ó Lernapplet pb5pw6 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=