94 5 BERECHNUNGEN IN BELIEBIGEN DREIECKEN Für die Punkte auf den Achsen sieht die Darstellung so aus: 2. A 2. A 1. A 1. A 1. A 1. A 2. A 2. A x r P φ P y r x φ P r φ P y r O O O O φ = 0° φ = 90° φ = 180° φ = 270° Man nennt r und φ die Polarkoordinaten des Punktes P. Dabei heißt r der Polarabstand von P und φ das Polarwinkelmaß von P. Der Winkel φ wird stets von der positiven ersten Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Es gilt also: 0° ª φ < 360°. Dem Nullpunkt O wird kein Polarwinkelmaß zugeordnet. Um kartesische Koordinaten von Polarkoordinaten zu unterscheiden, schreiben wir kartesische Koordinaten in runden Klammern und Polarkoordinaten in eckigen Klammern: kartesische Koordinaten: P = (x 1 y) Polarkoordinaten: P = [r 1 φ ] 5.02 Zeige: Für alle Punkte P = (x 1 y) ≠ O gilt x 2 + y 2 = r 2! LÖSUNG Der Abbildung auf der vorigen Seite kann man entnehmen: • Liegt P = (x 1 y) in einem der vier Quadranten, dann folgt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: x2 + y 2 = | x | 2 + | y | 2 = r 2 • Liegt P = (x 1 0) auf der 1. Achse, dann ist | x | = r und somit x2 + y 2 = | x | 2 + 0 2 = r 2. • Liegt P = (0 1 y) auf der 2. Achse, dann ist | y | = r und somit x2 + y 2 = 0 2 + | y | 2 = r 2. Bemerkungen zur Praxis der Landvermessung: Zur Messung von r und φ verwendet man in der Landvermessung einen Theodoliten mit eingebautem Entfernungsmesser. Durch horizontale Drehung des Theodoliten kann man φ ablesen. Die Messung von r erfolgt mit Hilfe eines vom Theodoliten ausgesandten Signals, das von einem im Punkt P angebrachten Reflektor reflektiert wird. Aus der Laufzeit des Signals ermittelt das Gerät automatisch die Entfernung des Punktes P vom Theodoliten und man kann diese am Theodoliten ablesen. Die Praxis der Landvermessung unterscheidet sich allerdings von dem hier Behandelten in dreierlei Hinsicht: (1) Die Achsen werden vertauscht. (2) D ie Winkel werden im Uhrzeigersinn von der (neuen) 1. Achse aus gemessen. (3) D ie Winkel werden in Neugrad gemessen. Dabei wird ein rechter Winkel in 100 Neugrad geteilt. Dies sind aber nur technische und keine prinzipiellen Unterschiede, weshalb wir in diesem Buch bei der gewohnten Achsenbezeichnung und Winkelmessung bleiben. φ P r 2. Achse 1. Achse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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