83 4.2 Anwendungen von Sinus, Cosinus und Tangens 4.48 Ein Quader wie in Aufgabe 4.46 hat die Kantenlängen a = ‾AB= 12cm, b = ‾BC= 9 cm, c = ‾AE= 4 cm. Ermittle das Maß des Winkels zwischen den folgenden Flächen! a) ABGH und ABCD b) BCHE und BCGF c) BFHD und ABFE 4.49 Berechne das Winkelmaß φ der Raumdiagonalen a) eines Würfels, b) eines Quaders mit den Kantenlängen a = 10, b = 12, c = 8! a) a a a φ b) a c b φ 4.50 Diamanten kristallisieren am häufigsten in der Form eines regelmäßigen Oktaeders, einer achtseitigen Doppelpyramide mit lauter gleich langen Kanten. Berechne das Maß des Winkels α, unter dem schneidende Seitenflächen gegeneinander geneigt sind! α a a a a a a a Steigung und Gefälle R Den Winkel α, den eine geradlinige Straße mit der Horizontalebene einschließt, nennt man den Neigungswinkel (Steigungswinkel) der Straße. Die Steigung der Straße ist folgendermaßen definiert: Steigung k = tan α = h _ b = Höhenunterschied ____ Horizontalentfernung Die Steigung wird üblicherweise in Prozent angegeben. BEISPIEL Eine Straße mit b = 200 m und h = 20 m hat die Steigung k = h _ b = 20 _ 200 = 0,1 = 10 %. 4.51 An einer Bergstraße in Tirol findet man das nebenstehende Straßenschild. Welche Information erhält man durch das Straßenschild? LÖSUNG 12 % = 12 _ 100 = h _ b Bei 100 m Horizontalentfernung beträgt der Höhenunterschied ungefähr 12 m. 4.52 Welchen Höhenunterschied hat man überwunden, wenn man auf einer mit 19% ansteigenden Straße einen Kilometer gegangen ist? LÖSUNG tan α = h _ b = 19 % = 0,19 w α = tan – 1 (0,19) ≈ 10,76° sin α = h _ 1 w h = sin α ≈ sin10,76° ≈ 0,187 (km) 4.53 Berechne für die angegebene Steigung den dazugehörigen Neigungswinkel! a) 1 % b) 5 % c) 10 % d) 15 % e) 20 % f) 25 % 4.54 1) Zeichne im Maßstab 1 :100 000 über derselben Horizontalentfernung (b = 4 km) Steigungsdreiecke für die Steigungen k = 50 %, 100 %, 200 %, 400 %! 2) Erstelle eine Tabelle für die Neigungswinkel zu den angegeben Steigungen! 3) Wie verändert sich der Neigungswinkel, wenn die Steigung zunimmt? 4) Entspricht der doppelten Steigung der doppelte Neigungswinkel? b h α AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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