83 4.2 Anwendungen von Sinus, Cosinus und Tangens 4.48 Ein Quader wie in Aufgabe 4.46 hat die Kantenlängen a = ‾AB= 12cm, b = ‾BC= 9 cm, c = ‾AE= 4 cm. Ermittle den Winkel zwischen den folgenden Flächen! a) ABGH und ABCD b) BCHE und BCGF c) BFHD und ABFE 4.49 Berechne das Winkelmaß φ der Raumdiagonalen a) eines Würfels, b) eines Quaders mit den Kantenlängen a = 10, b = 12, c = 8! a) a a a φ b) a c b φ 4.50 Diamanten kristallisieren am häufigsten in der Form eines regelmäßigen Oktaeders, einer achtseitigen Doppelpyramide mit lauter gleich langen Kanten. Unter welchem Winkel α sind schneidende Seitenflächen gegeneinander geneigt? α a a a a a a a Steigung und Gefälle R Den Winkel α, den eine geradlinige Straße mit der Horizontalebene einschließt, nennt man den Neigungswinkel (Steigungswinkel) der Straße. Die Steigung der Straße ist folgendermaßen definiert: Steigung k = tan α = h _ b = Höhenunterschied ____ Horizontalentfernung Die Steigung wird üblicherweise in Prozent angegeben. BEISPIEL Eine Straße mit b = 200 m und h = 20 m hat die Steigung k = h _ b = 20 _ 200 = 0,1 = 10 %. 4.51 An einer Bergstraße in Tirol findet man das nebenstehende Straßenschild. Welche Information erhält man durch das Straßenschild? LÖSUNG 12 % = 12 _ 100 = h _ b Bei 100 m Horizontalentfernung beträgt der Höhenunterschied ungefähr 12 m. 4.52 Welchen Höhenunterschied hat man überwunden, wenn man auf einer mit 19% ansteigenden Straße einen Kilometer gegangen ist? LÖSUNG tan α = h _ b = 19 % = 0,19 w α = tan – 1 (0,19) ≈ 10,76° sin α = h _ 1 w h = sin α ≈ sin10,76° ≈ 0,187 (km) 4.53 Berechne für die angegebene Steigung den dazugehörigen Neigungswinkel! a) 1 % b) 5 % c) 10 % d) 15 % e) 20 % f) 25 % 4.54 1) Zeichne im Maßstab 1 :100 000 über derselben Horizontalentfernung (b = 4 km) Steigungsdreiecke für die Steigungen k = 50 %, 100 %, 200 %, 400 %! 2) Erstelle eine Tabelle für die Neigungswinkel zu den angegeben Steigungen! 3) Wie verändert sich der Neigungswinkel, wenn die Steigung zunimmt? 4) Entspricht der doppelten Steigung der doppelte Neigungswinkel? b h α AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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