80 4 BERECHNUNGEN IN RECHTWINKLIGEN DREIECKEN 4.30 In einem Dreieck teilt der Fußpunkt der Höhe h c die Seite c in zwei Strecken mit den Längen x und y. Berechne die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks! a) h c = 4, x = 5, y = 3 c) h c = 48, x = 8, y = 10 b) h c = 6, x = 2, y = 7 d) h c = 9,4, x = 2,3, y = 5,1 4.31 Der Querschnitt eines Satteldaches ist ein gleichschenkeliges Dreieck. Die Breite des Hauses beträgt 10,5 m. Der Dachneigungswinkel muss laut regionaler Bauvorschrift mindestens 27° betragen. a) Wie groß ist die Dachhöhe h mindestens? b) Wie lang müssen die Dachsparren mindestens sein? 4.32 Damit ein Beobachter B zwei benachbarte Punkte P und Q mit freiem Auge gerade noch unterscheiden kann, muss der Sehwinkel α zwischen den Sehstrahlen eine bestimmte Mindestgröße besitzen. Diese Mindestgröße nennt man die Auflösung des Auges. 1) Zwei Punkte P und Q im Abstand von 6mm kann man aus 10,3m Entfernung gerade noch unterscheiden. Zeige, dass sich daraus die Auflösung des menschlichen Auges mit rund 0,033 4° ergibt! 2) Wie weit müssen zwei Punkte voneinander entfernt sein, damit man sie aus 100 m Entfernung gerade noch getrennt sehen kann? 3) Eine 2-Euro-Münze hat einen Durchmesser von 27,25 mm. Aus welcher Entfernung kann man diese Münze gerade noch sehen? 4.33 1) Welchen Öffnungswinkel hat der Lichtkegel einer Taschenlampe, wenn diese auf einer senkrecht zum Lichtkegel stehenden, 5 m entfernten Wand einen Kreis vom Radius 1m erzeugt? 2) Wie nahe muss man die Taschenlampe an die Wand heranrücken, damit der Radius nur noch 0,5 m beträgt? 4.34 Eine 4 m lange Stange ist gegen eine senkrechte Wand gelehnt. Der Boden fällt vom Fußpunkt der Stange zur Wand hin unter einem Winkel von 20° ab und der Fußpunkt der Stange ist längs des Bodens von der Wand 0,5 m entfernt. 1) Wie groß ist der Horizontalabstand des Fußpunktes der Stange von der Wand? 2) Welchen Winkel schließt die Stange mit dem Boden ein? 3) Wie hoch ist das obere Ende der Stange über dem Boden? Berechnungen an ebenen Figuren R 4.35 Von einem Rhombus kennt man a = 3,8 und α = 54,3°. Berechne die Diagonalenlängen e und f, den Inkreisradius ρ und den Winkel β! LÖSUNG Wir zerlegen den Rhombus durch die Diagonalen in vier rechtwinkelige Dreiecke. Dreieck ABM: cos α _ 2 = e _ 2 _ a w e = 2 a · cos α _ 2 = 2 · 3,8 · cos 27,15° ≈ 6,8 sin α _ 2 = f _ 2 _ a w f = 2 a · sin α _ 2 = 2 · 3,8 · sin 27,15° ≈ 3,5 Dreieck AFM: sin α _ 2 = ρ _ e _ 2 w ρ = e _ 2 · sin α _ 2 = e _ 2 · sin 27,15° ≈ 1,5 2 α + 2 β = 360° w β = 180° – α = 180° – 54,3° = 125,7° A B C α γ a b c hc β x y Hausbreite Dachhöhe Dachsparren Q P α α 1 5 1 A F B D C a a α β a M ρ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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