78 4 BERECHNUNGEN IN RECHTWINKLIGEN DREIECKEN 4.2 Anwendungen von Sinus, Cosinus und Tangens Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken 4.17 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man c = 110,6 und α = 35,3°. Berechne die Seitenlängen a und b und den Winkel β des Dreiecks! LÖSUNG Berechnung von a: D ie gesuchte Gegenkathete a von α und die gegebene Hypotenuse c des Dreiecks hängen über den Sinus von α zusammen. sin α = a _ c w a = c · sin α = 110,6 · sin 35,3° ≈ 63,9 Berechnung von b: Die gesuchte Ankathete b von α und die gegebene Hypotenuse c des Dreiecks hängen über den Cosinus von α zusammen. cos α = b _ c w b = c · cos α = 110,6 · cos 35,3° ≈ 90,3 Berechnung von β: β = 180° – α – 90° = 90° – 35,3° = 54,7° 4.18 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man a = 3,4 und b = 2,3. Berechne die Seitenlänge c und die Winkel α und β des Dreiecks! LÖSUNG Berechnung von c: ( Satz von Pythagoras): c 2 = a 2 + b 2 w c = � _____ a 2 + b 2 ≈ 4,1 Berechnung von α: D er gesuchte Winkel α hat die gegebene Seite a zur Gegenkathete und die gegebene Seite b zur Ankathete. Daher gilt: tan α = a _ b = 3,4 _ 2,3 w α = tan – 1 ( 3,4 _ 2,3 ) ≈ 55,9° Berechnung von β: β = 180° – α – 90° ≈ 34,1° 4.19 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man die Länge einer Seite und einen Winkel. Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks! a) c = 46,3, α = 71,8° c) a = 7,7, α = 46,2° e) b = 38,2, α = 31,6° b) c = 531, β = 29,5° d) a = 99,5, β = 31,9° f) b = 4,2, β = 21,8° 4.20 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man zwei Seitenlängen. Berechne die dritte Seitenlänge und die übrigen Winkel des Dreiecks! a) a = 41,5, b = 87,1 c) a = 9,5, c = 14,2 e) b = 45,0, c = 56,9 b) a = 10,0, b = 7,5 d) a = 25,79, c = 44,77 f) b = 108, c = 117 4.21 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man die Länge einer Kathete und die Höhe h c . Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks! a) a=6,hc = 4 b) b = 38, hc = 30 R c b a α β kompakt S. 88 c b a α β AUFGABEN R c b hc a α β Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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