67 3.2 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen 3.40 Ein Raumfahrzeug der Masse m, das auf direktem Weg von der Erde (Masse M E) zum Mond (Masse MM) fliegt und dabei eine Strecke der Länge d = 384 000 km zurücklegt, passiert auf seiner Reise einen so genannten Librationspunkt, in dem die Anziehungskraft der Erde und des Mondes gleich groß sind. Nach wie vielen Kilometer Flug befindet sich das Raumfahrzeug im Librationspunkt, wenn man weiß, dass die Erde etwa die 81-fache Mondmasse besitzt? HINWEIS I n der Entfernung r des Raumfahrzeugs von der Erde gilt: Anziehungskraft Erde – Raumfahrzeug = F E = G · m · M E _ r 2 Anziehungskraft Mond – Raumfahrzeug = F M = G · m · M M __ (d – r) 2 G ist die Gravitationskonstante. Quadratische Bruchgleichungen R 3.41 Für welche reelle Zahlen x gilt: x _ x – 1 – 4 _ x + 1 = 1 _ x – 1 LÖSUNG Wir müssen x ≠ 1 und x ≠ – 1 voraussetzen, damit alle Nenner von 0 verschieden sind. Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner: x ( x + 1) __ x 2 – 1 – 4 (x – 1) __ x 2 – 1 = x + 1 _ x 2 – 1 1 · (x 2 – 1) x 2 +x–4x+4 = x + 1 x 2 –4x+3=0 x = 2 ± � ____ 4 – 3 x = 3 = x = 1 Wegen der Voraussetzung x ≠ 1 und x ≠ –1 kommt allerdings nur x = 3 als Lösung in Frage. Man kann das Vorgehen in der letzten Aufgabe auch mit Mengen beschreiben: 1. Schritt: Ermitteln der Grundmenge G = R 2. Schritt: Ermitteln der Definitionsmenge D = R \ {–1; 1} (weil alle Nenner von 0 verschieden sein müssen) 3. Schritt: Ermitteln der Lösungsmenge Die Rechnung ergibt x = 3 = x = 1. Wegen 1 + D ist nur x = 3 eine Lösung. Also ist L = {3}. 3.42 Es ist G = R. Ermittle die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der Bruchgleichung! Führe auch die Probe durch! a) x – 1 _ 3 – x = 1 _ x – 1 c) 2 _ x – 1 + 2 _ x – 2 _ x 2 – x = 2 e) 3 x – 10 __ x – 2 = 1 + x – 4 _ x + 1 b) 2 _ x 2 – 1 + 3 _ x = 2 _ x d) x + 1 _ x – 2 + x + 3 _ x + 2 = 0 f) 10 x ___ (3 x + 4) · (2 x + 1) = 5 x _ 2 x + 1 3.43 Ermittle alle Lösungen der Bruchgleichung und mache die Probe! a) 1 _ x + 1 _ 2 = 1 _ x – 1 d) x + 3 _ 4 + 4 _ 1 – x + 11 _ 4 = 0 g) 3 _ x + 1 _ 3 = 3 _ x + 1 + 11 _ 6 b) 1 _ 2 – 1 _ x – 1 = x – 3 _ 6 e) 1 _ x – 1 _ x + 1 = 1 _ x + 1 – 1 _ x + 1 _ 6 h) 6 – x _ 5 – x + 7 = 9 x _ 4 c) 1 + 1 _ x + 3 = x _ 2 – 6 x _ 4 f) x _ 2 + 2 _ x – 4 = 5 – x – 7 _ 2 i) 3 x 2 _ x 2 – 1 + 5 x _ x + 1 = 9 x _ x – 1 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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