64 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN Gleichungen der Form a · x 2 + b · x + c = 0 (mit a ≠ 0) R Eine solche Gleichung kann man lösen, indem man beide Seiten durch a dividiert und die „kleine Lösungsformel“ verwendet: a x 2 +bx+c=0 1 : a x 2 + b _ a x + c _ a = 0 x = – b _ 2 a ± � _____ b 2 _ 4 a 2 – c _ a = – b _ 2 a ± � _____ b 2 – 4 ac __ 4 a 2 = = – b _ 2 a ± 1 _ 2 a � _______ b 2 – 4 a c = – b ± � _______ b 2 – 4 a c ___ 2 a (sofern b 2 – 4ac º 0) In Analogie zu normierten quadratischen Gleichungen bezeichnet man auch hier die Zahl unter der Wurzel, also b 2 – 4 a c, als Diskriminante, weil man mit ihrer Hilfe folgende Lösungsfälle unterscheiden kann: 1. Fall: b 2 –4ac>0 x = – b ± � _______ b 2 – 4 a c ___ 2 a genau zwei Lösungen 2. Fall: b 2 –4ac=0 x = – b _ 2 a genau eine Lösung 3. Fall: b 2 –4ac<0 keine Lösung Insgesamt haben wir durch unsere Überlegungen die folgenden beiden Sätze bewiesen: Satz Eine quadratische Gleichung a x 2 +bx+c=0 mit a, b, c * R, a ≠ 0 und der Diskriminante D = b 2 – 4 a c hat • genau zwei reelle Zahlen als Lösungen, wenn D > 0, • genau eine reelle Zahl als Lösung, wenn D = 0, • keine reelle Zahl als Lösung, wenn D < 0. Satz („große Lösungsformel“) Für eine quadratische Gleichung a x 2 +bx+c=0 mit der Diskriminante D = b 2 –4acº0 gilt: a x 2 +bx+c=0 É x = – b ± � _______ b 2 – 4 a c ___ 2 a 3.18 Löse: a) 3 x 2 – x – 10 = 0 b) 4 x 2 –12x+9=0 c) 5 x 2 – x + 2 = 0 LÖSUNG Man liest a, b, c aus der quadratischen Gleichung ab und setzt in die Formel ein. a) 3 x 2 – x – 10 = 0 [a = 3, b = – 1, c = – 10] x = 1 ± � ____________ 1 – 4 · 3 · (– 10) ___ 2 · 3 = 1 ± � ___ 121 __ 6 = 1 ± 11 _ 6 x = – 5 _ 3 = x = 2 b) 4 x 2 –12x + 9 = 0 [a = 4, b = – 12, c = 9] x = 12 ± � __________ 144–4·4·9 ___ 2 · 4 = 12 ± 0 _ 8 x = 3 _ 2 c) 5 x 2 – x + 2 = 0 [a = 5, b = – 1, c = 2] x = 1 ± � ________ 1–4·5·2 ___ 2 · 5 = 1 ± � ____ – 39 __ 10 keine Lösung kompakt S. 71 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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