62 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 3.2 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen Normierung quadratischer Gleichungen Eine quadratische Gleichung a · x2 + b · x + c = 0 mit a ≠ 0 kann stets so umgeformt werden, dass der Koeffizient von x2 (dh. die Zahl vor x2) gleich 1 ist: a · x2 + b · x + c = 0 1 : a x2 + b _ a ·x+ c _ a = 0 Setzt man zur Abkürzung b _ a =pund c _ a = q, erhält man: x2 + p · x + q = 0 Man bezeichnet eine Gleichung der Form x2 + p · x + q = 0 (dh. eine quadratische Gleichung, bei der der Koeffizient von x2 gleich 1 ist) als normierte quadratische Gleichung. Gleichungen der Form x 2 + p x + q = 0 R 3.11 Löse: a) x2 –2x+1=0 b) x2 –2x–8=0 c) x2 +2x+5=0 LÖSUNG In a) wenden wir die binomische Formel a 2 –2ab+b2 = (a – b)2 an. Damit wir auch in b) und c) eine entsprechende binomische Formel anwenden können, addieren wir zuerst auf beiden Seiten eine geeignete Zahl, sodass die linke Seite die Form a2 ±2ab+b2 erhält. (Man bezeichnet diesen Vorgang als „Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat“.) a) x2 –2x+1=0 (x – 1)2 = 0 x – 1 = 0 x = 1 L = {1} b) x2 –2x–8=0 1 + 9 x2 –2x+1=9 (x – 1)2 = 9 x–1=±3 x = 1 ± 3 x = 4 = x = – 2 L = {–2; 4} c) x2 +2x+5=0 1 – 4 x2 +2x+1=–4 (x + 1)2 = – 4 Es gibt keine Lösung, da die linke Seite º 0 und die rechte Seite < 0 ist. L = { } Wir führen diese Schritte jetzt allgemein durch: x2 +px+q=0 1 + ( p _ 2 ) 2 – q x2 +px+( p _ 2 ) 2 = ( p _ 2 ) 2 – q (x + p _ 2 ) 2 = ( p _ 2 ) 2 – q Nun unterscheiden wir folgende Fälle: 1. Fall: ( p _ 2 ) 2 – q > 0 x + p _ 2 = ± � ______ ( p _ 2 ) 2 – q x = – p _ 2 ± � ______ ( p _ 2 ) 2 – q 2. Fall: ( p _ 2 ) 2 – q = 0 x + p _ 2 = 0 x = – p _ 2 3. Fall: ( p _ 2 ) 2 – q < 0 (x + p _ 2 ) 2 = ( p _ 2 ) 2 – q } } º 0 < 0 genau zwei Lösungen genau eine Lösung keine Lösung Die Zahl D = ( p _ 2 ) 2 – q heißt Diskriminante der Gleichung x2 + p x + q = 0, weil man mit ihrer Hilfe entscheiden kann, welcher Lösungsfall eintritt (discriminare (lat.) = unterscheiden). R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=