61 3.1 Sonderfälle quadratischer Gleichungen Bei diesem Sonderfall haben wir den folgenden Satz benutzt: Produkt-Null-Satz Für alle A, B * R gilt: A · B = 0 É A = 0 = B = 0 In Worten: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. 3.01 Max löst die Gleichung x · (x – 5) = 0 so: x·(x – 5) = 0 1 : x É x – 5 = 0 É x = 5 É L = {5} Ist diese Lösung richtig? Wenn nicht, löse die Gleichung richtig und erläutere, welchen Fehler Max begeht! LÖSUNG Die Lösung ist falsch. Eine richtige Lösung sieht so aus: x·(x–5)=0 É x = 0 = x – 5 = 0 É x = 0 = x = 5 w L = {0; 5} Max übersieht, dass die Division durch x nur für x ≠ 0 erlaubt ist. Deshalb geht ihm die Lösung x = 0 verloren. Der erste Schritt von Max ist keine Äquivalenzumformung, da die Gleichungen x · (x – 5) = 0 und x – 5 = 0 verschiedene Lösungsmengen haben. 3.02 Löse! a) x2 = 100 b) 9 x2 + 16 = 0 c) x2 – 49 _ 4 = 0 d) 2 x 2 + 50 = 0 3.03 Löse für a > 0 und c > 0! a) a x 2 – c = 0 b) x 2 – a _ c = 0 c) x 2 – a _ c = 0 d) x 2 _ c –a=0 3.04 Löse! a) (x – 2)2 – 49 = 0 b) (x – 1,2)2 = 0 c) (x + 5)2 = 4 d) (x + 3)2 – 25 = 0 3.05 Löse! a) x(x–5)=0 b) (x + 3 _ 2 ) x = 0 c) (2x – 3)x = 0 d) 2x(x+7)=0 3.06 Löse! a) x2 –4x=0 c) x2 = 12 x e) 2 x2 +8x=0 g) 3 x2 –36x=0 b) x2 +9x=0 d) 3 _ 2 x=2x 2 f) 3 x2 –15x=0 h) 5 x2 +15x=0 3.07 Löse für a ≠ 0 und b ≠ 0! a) a x2 –bx=0 b) x2 – b x _ a = 0 c) x 2 + b _ a x = 0 d) x2 _ a –bx=0 3.08 Gib ein Beispiel einer quadratischen Gleichung an, die die angegeben Lösungen besitzt! a) x1 = 0, x2 = – 7 b) x1 = – 4, x2 = 4 c) x1 = 3, x2 = 0 d) x1 = 3 _ 2 , x2 = – 3 _ 2 3.09 Löse! a) (2 x – 7) (2 x + 7) = 0 c) (1 – 3x)(3x +1) = –8 e) ( x _ 4 – 9) ( x _ 4 + 9) = – 17 b) (x + 2)2 = 36 – (x – 2)2 d) (3 x + 7)2 + (3 x – 7)2 = 134 f) 9·(x–2)2 – 4 · ( 9 _ 2 – x) 2 = 35 3.10 Löse! a) (2x – 4)(x + 5) – (x – 2)(x + 3) = –14 c) (x – 1)2 –(2x–3)2 = (x – 2)2 – 12 b) (5x – 2)(x – 2) = (2x +1)(x – 3) +7 d) (x – 4)2 – ( 1 _ 2 x – 5) 2 = – 9 AUFGABEN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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