60 GRUNDKOMPETENZEN Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen können, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. den Satz von Vieta kennen und anwenden können AG-R 2.3 AG-L 2.6 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 3.1 Sonderfälle quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen, die man ohne Lösungsformeln lösen kann Definition Eine Gleichung der Form a · x 2 + b · x + c = 0 mit a, b, c * R und a ≠ 0 heißt quadratische Gleichung in der Variablen x. Die Zahlen a, b und c nennt man Koeffizienten. BEISPIELE Gleichung a b c Gleichung a b c 3 x 2 +7x–5=0 3 7 – 5 2 x 2 + x = 0 2 1 0 x 2 – 4 = 0 1 0 – 4 5 x 2 = 0 5 0 0 1. Sonderfall: Gleichungen der Form a · x2 = 0 (a ≠ 0, b = 0, c = 0) Allgemein: a · x 2 = 0 1 : a x 2 = 0 x = 0 Beispiel 1: 7 · x 2 = 0 1 : 7 x 2 = 0 x = 0 Beispiel 2: (– 3) · x2 = 0 1 : ( – 3) x 2 = 0 x = 0 2. Sonderfall: Gleichungen der Form a · x2 + c = 0 (a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0) Allgemein: a x 2 + c = 0 a x 2 = – c x2 = – c _ a • c _ a < 0 w x = � ___ – c _ a = x = – � ___ – c _ a • c _ a > 0 w keine Lösung in R Beispiel 1: 3 x 2 – 9 = 0 3 x 2 = 9 x 2 = 3 x = � __ 3 = x = – � __ 3 Beispiel 2: 3 x 2 + 9 = 0 3 x 2 = – 9 x 2 = – 3 keine Lösung in R BEACHTE IM BEISPIEL 1 Die Gleichung x 2 = 3 hat zwei Lösungen, nämlich x = � __ 3und x = –� __ 3, denn es gilt ( � __ 3 ) 2 = 3 und (– � __ 3 ) 2 = 3. Man schreibt auch kürzer: x = ± � __ 3 3. Sonderfall: Gleichungen der Form a · x2 + b · x = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0) Allgemein: a x 2 +bx=0 x·(ax+b)=0 x = 0 = ax+b=0 x = 0 = x = – b _ a Beispiel 1: 2 x 2 –9x=0 x·(2x–9)=0 x = 0 = 2x–9=0 x = 0 = x = 4,5 Beispiel 2: x 2 + x = 0 x · (x + 1) = 0 x = 0 = x + 1 = 0 x = 0 = x = – 1 R kompakt S. 71 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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