55 2.6 Teilbarkeit und Primzahlen INDIREKTER BEWEIS Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p 1 , p 2 , …, pk . Die Zahl p 1 · p 2 ·…·pk + 1 muss nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie mindestens einen Primfaktor p als Teiler besitzen. Es gibt also eine natürliche Zahl x mit p 1 · p 2 ·…·pk +1=p·xundsomitist1=p·x–p1 · p 2 ·…·pk . Die Primzahl p kann unter den Primzahlen p1 , p 2 , …, pk nicht vorkommen, weil sonst 1 durch p teilbar sein müsste, was aber wegen p > 1 nicht möglich ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass die Primzahlen p 1 , p 2 , …, pk alle Primzahlen sind. 2.71 Beweise a) für alle n * N*: 1!n und n!n, b) für alle a, b, c * N*: a!b ? b!c w a!c, c) für alle a, b * N*: a!b ? b!a w a = b 2.72 Zerlege in Primfaktoren: a) 266 b) 1 155 c) 462 d) 728 e) 6 900 f) 39 424 2.73 1) Es sei n = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · … · 99 · 100. Begründe, dass die Zahlen n + 2, n + 3, …, n + 100 keine Primzahlen sind! 2) Es sei n = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · … · k. Begründe, dass die Zahlen n + 2, n + 3, …, n + k keine Primzahlen sind! AUFGABEN L O Für konkrete Anleitungen siehe Technologieheft GeoGebra Ó TI-Nspire kompakt 9d6642 Runden Festkomma- ¥ Gleitkommadarstellung GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II Menü – Einstellungen – Runden – Auswahl: Anzahl der Dezimalstellen, auf die bei näherungsweisen Zahldarstellungen gerundet wird. CAS-Ansicht Eingabe: Zahl – Werkzeug Ausgabe ¥ Zahl gerundet Iconleiste – Main – Statusleiste – Dezimal – Menüleiste – O – Grundformat – Zahlenformat – Sci x – Einst Eingabe: Zahl in Festkommadarstellung E Ausgabe ¥ Zahl in Gleitkommadarstellung mit x Ziffern in der Mantisse Gleitkommadarstellung ¥ Festkommadarstellung GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS-Ansicht: Eingabe: Zahl in Gleitkommadarstellung – Werkzeug Ausgabe ¥ Zahl in Festkommadarstellung (entsprechend den Rundungseinstellungen) Iconleiste – Main – Statusleiste – Dezimal – Menüleiste – O – Grundformat – Zahlenformat – Fest x – Einst Eingabe: Zahl in Gleitkommadarstellung E Ausgabe ¥ Zahl in Festkommadarstellung gerundet auf x Nachkommastellen Primfaktorenzerlegung der Zahl x GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS-Ansicht: Eingabe: Primfaktoren [x] ENTER Ausgabe ¥ Liste aller Primfaktoren von x Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – (Un-)Gleichungen – solve (Gleichung, Lösungsvariable) E Ausgabe ¥ Liste der Lösung(en) TECHNOLOGIE KOMPAKT R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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