44 2 ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN 2.2 Beträge und Intervalle Betrag einer Zahl Die Zahlen + 5 und – 5 unterscheiden sich nur im Vorzeichen, haben aber den gleichen „Betrag“. Mathematisch kann dieser Begriff so definiert werden: Definition Unter dem Absolutbetrag oder kurz Betrag | a | einer reellen Zahl a versteht man: | a | = { a, falls a º 0 –a,falls a < 0 [Lies: Betrag von a] BEISPIELE | 5 | = 5, | – 3 | = –(–3) = 3, | 0 | = 0 Auf einer Zahlengeraden kann | a | als Abstand des Punktes a vom Nullpunkt interpretiert werden. Da ein Abstand nicht negativ sein kann, ist stets | a | º 0. 0 a †a† 0 a a negativ: a positiv: †a† • | x | < 3 bedeutet: Der Abstand der Zahl x von 0 ist kleiner als 3. Also: | x | < 3 É –3<x<3 • | x | º 3 bedeutet: Der Abstand der Zahl x von 0 beträgt mindestens 3. Also: | x | º 3 É (x ª – 3) = (x º 3) Allgemein kann auf einer Zahlengeraden | b – a | als Abstand der Punkte a und b interpretiert werden. Es ist | b – a | = | a – b |, zB | 5 – 3 | = | 2 | = 2 und | 3 – 5 | = | – 2 | = 2. 2.21 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) | (– 3) – (–7) | = – 4 b) | – � __ 3 | = – | � __ 3 | | – � __ 9 | = 3 | – 32 | > | (– 3)2 | | (– 4) 2 | = – 42 | (– 3)2 | = – | 32 | | (– 1) 3 | = – 1 | (– 3)2 | = | 32 | | 0 | = 0 | (– 3)2 | = | – 32 | 2.22 Kreuze die beiden Aussagen an, die für alle a, b * R gelten! a) a = b w | a | = | b | b) a > b w | a | > | b | | a | = | b | w a = b a < b w | – a | < | – b | a > – b w | a | > | b | | a | = | – b | w | a | = | b | | a | < | b | w a < – b | a | = | b | w – | a | = | b | | a | = 0 w a = 0 | a | = | b | w | – a | = | – b | 2.23 Stelle die folgende Ungleichung ohne Betrag dar! a) | x | < 3 _ 2 b) | x | > 1 c) | x | ª 4 d) | x | º 1,8 2.24 Schreibe als Betragsungleichung an: a) –5<x<5 b) x ª – 7 _ 8 = x º 7 _ 8 R – 3 0 3 – 3 0 3 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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