40 2 ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN Zusammenfassung: reelle Zahlen rationale Zahlen irrationale Zahlen Bruchdarstellung möglich nicht möglich Dezimaldarstellung endlich oder periodisch unendlich, aber nicht periodisch Die Gleichung 3 + x = 5 lässt sich mit natürlichen Zahlen lösen. Die Gleichung 3 – x = 5 lässt sich nicht mit natürlichen, wohl aber mit ganzen Zahlen lösen. Die Gleichung 3 · x = 5 lässt sich nicht mit ganzen, wohl aber mit rationalen Zahlen lösen. Manche Gleichungen lassen sich nicht einmal mehr mit rationalen, wohl aber mit irrationalen Zahlen lösen, zB x2 = 2. Satz Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = 2. BEWEIS Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Wir nehmen das Gegenteil der Behauptung an und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann muss klarerweise die ursprüngliche Behauptung gelten. Wir nehmen also an: Es gibt eine rationale Zahl x = z _ n mit x 2 = 2 (z * Z, n * N*). Wir können voraussetzen, dass n > 1 ist (denn für n = 1 wäre x eine ganze Zahl; es gibt aber keine ganze Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist). Außerdem können wir voraussetzen, dass der Bruch z _ n so weit wie möglich durchgekürzt wurde. Dann lässt sich auch x 2 = z _ n · z _ n nicht mehr weiter kürzen und somit ist x 2 keine ganze Zahl. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme x 2 = 2. Naheliegenderweise bezeichnet man die Lösungen der Gleichung x 2 = 2 mit x = � __ 2und x = –� __ 2 (denn laut Definition der Quadratwurzel sind die Quadrate dieser beiden Zahlen gleich 2). Aus dem obigen Satz folgt, dass � __ 2 und – � __ 2irrationale Zahlen sind. Man kann beweisen: Satz Die Zahl � __ n mit n * N ist irrational, falls n keine Quadratzahl ist. 2.01 Wir wissen, dass die Zahl � __ 2irrational ist. Zeige, dass auch die Zahl 2 · � __ 2irrational ist! LÖSUNG Wir führen einen indirekten Beweis. Angenommen 2 · � __ 2wäre rational, dh. 2 · � __ 2 = z _ n (mit z * Z und n * N*). Dann wäre � __ 2 = z _ 2 n (mit z * Z und 2 n * N*), dh. � __ 2wäre auch rational. Das ist ein Widerspruch! Ein weiteres Beispiel für eine irrationale Zahl stellt die Zahl π dar. Der Nachweis, dass diese Zahl irrational ist, ist allerdings schwierig. Die rationalen Zahlen kann man als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen. Eine Gerade wird zu einer Zahlengeraden, wenn man auf ihr zwei verschiedene Punkte wählt, denen man die Zahlen 0 und 1 zuordnet. Durch fortlaufendes Abtragen der Einheitsstrecke (Strecke von 0 bis 1) erhält man Punkte, denen die ganzen Zahlen … , – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, … zugeordnet werden können. Durch entsprechende Teilungen erhält man Punkte, denen die übrigen rationalen Zahlen zugeordnet werden können. +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 – 3 – 2 9 – _ 4 _1 2 – 6 – 5 – 4 0 Es gilt: Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden. Aber: Nicht jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht eine rationale Zahl. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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