38 2 GRUNDKOMPETENZEN Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R […] verständig einsetzen können. Zahlen in einem nichtdekadischen Zahlensystem darstellen können. AG-R 1.1 AG-L 1.4 ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN 2.1 Zahlbereiche und Zahlenmengen Natürliche Zahlen Zahlen sind Erfindungen der Menschen. Die ältesten Zahlen sind die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, die sich aus dem Zählen von Gegenständen entwickelt haben. Dabei nimmt man an, dass man im Prinzip ohne Ende weiterzählen kann. Wir verwenden folgende Mengenbezeichnung: N = Menge der natürlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Ganze Zahlen R Zur Angabe von Temperaturen, Kontoständen, Meereshöhen oder Ähnlichem erweisen sich negative Zahlen als nützlich, zum Beispiel: Temperatur – 8 °C [8 Grad unter null] Kontostand – 50 € [50 Euro Schulden] Meereshöhe – 145 m [145 Meter unter dem Meeresspiegel] Nimmt man zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, … noch die Zahlen –1, – 2, – 3, … hinzu, erhält man die ganzen Zahlen. Für die Menge der ganzen Zahlen verwendet man folgende Bezeichnung: Z = Menge der ganzen Zahlen = {…, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, …} Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Es gilt also: N ² Z. Rationale Zahlen R Um Bruchteile (relative Anteile) anzugeben, kommt man mit den ganzen Zahlen nicht aus. Man braucht dazu positive Bruchzahlen wie zB 1 _ 2 , 3 _ 4 , 2 _ 9 , … Nimmt man zu diesen Zahlen noch die negativen Bruchzahlen wie zB – 1 _ 2 , – 3 _ 4 , – 2 _ 9 , … sowie die Zahl 0 hinzu, erhält man die rationalen Zahlen. Diese Zahlen lassen sich alle in der Form z _ n darstellen, wobei z * Z und n * N* ist. Das gilt auch für die Zahl 0, weil man diese etwa in der Form 0 = 0 _ 2 anschreiben kann. Für die Menge der rationalen Zahlen verwendet man folgende Bezeichnung: Q = Menge der rationalen Zahlen = { z _ n | z * Z und n * N*} Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn eine ganze Zahl z kann in der Form z _ 1 = 2 z _ 2 = 3 z _ 3 = … geschrieben werden. Es gilt also: Z ² Q. R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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