285 ANHANG: BEWEISE Zu 8.1 (Seiten 160 und 161) Satz Der Graph einer quadratischen Polynomfunktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) besitzt die Symmetrieachse x = – b _ 2 a . BEWEIS Wir zeigen, dass für alle h * ℝ + gilt: f(– b _ 2 a – h) = f (– b _ 2 a + h) f (– b _ 2 a – h) = a (– b _ 2 a – h) 2 + b (– b _ 2 a – h) +c=a( b 2 _ 4 a 2 + bh _ a + h 2) – b 2 _ 2 a –bh+c= = b 2 _ 4 a +bh+ah 2 – b 2 _ 2 a –bh+c=ah 2 – b 2 _ 4 a + c f (– b _ 2 a + h) = a (– b _ 2 a + h) 2 + b (– b _ 2 a + h) +c=a( b 2 _ 4 a 2 – bh _ a + h 2) – b 2 _ 2 a +bh+c= = b 2 _ 4 a –bh+ah 2 – b 2 _ 2 a +bh+c=ah 2 – b 2 _ 4 a + c Satz Der Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c ist eine für a > 0 nach oben offene und für a < 0 nach unten offene Parabel mit dem Scheitel S = (– b _ 2 a | f (– b _ 2 a )) . BEWEIS f(x) = ax 2 +bx+c= a · (x 2 + b _ a x + c _ a ) = a · [ (x + b _ 2 a ) 2 – b 2 _ 4 a 2 + c _ a ] = a · (x + b _ 2 a ) 2 + c – b 2 _ 4 a • Falls a > 0, folgt daraus: Für x = – b _ 2 a ist f(x) = c – b 2 _ 4 a und für x ≠ – b _ 2 a ist f(x) > c – b 2 _ 4 a . • Falls a < 0, folgt daraus: Für x = – b _ 2 a ist f(x) = c – b 2 _ 4 a und für x ≠ – b _ 2 a ist f(x) < c – b 2 _ 4 a . Somit ist die Parabel für a > 0 nach oben offen, für a < 0 nach unten offen und besitzt in beiden Fällen den Scheitel S = (– b _ 2 a | c – b 2 _ 4 a ) = (– b _ 2 a | f (– b _ 2 a )) . Zu 13.2 (Seite 268) Satz Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren →u = (u 1 1 u 2) und →v = (v 1 1 v 2) aufgespannten Dreiecks gilt: (1) Flächeninhalt in Vektorform A = 1 _ 2 · � ____________ →u 2 · →v 2 – ( →u · →v ) 2 (2) Flächeninhalt in Koordinatenform A = 1 _ 2 · ‡u 1 · v 2 – u 2 · v 1‡ BEWEIS Nach der trigonometrischen Flächeninhaltsformel gilt: (1) A = ‡ →u ‡ · ‡ →v ‡ _ 2 · sin φ = ‡ →u ‡ · ‡ →v ‡ _ 2 · � _ 1 – cos 2φ Setzen wir hier cos φ = → u · → v _ ‡ → u ‡ · ‡ → v ‡ ein, erhalten wir: A = ‡ →u ‡ · ‡ →v ‡ _ 2 · � ________ 1 – ( →u · →v ) 2 __ ‡ →u ‡ 2 · ‡ →v ‡ 2 = ‡ →u ‡ · ‡ →v ‡ _ 2 · � ___________ ‡ →u ‡ 2 · ‡ →v ‡ 2 – ( →u · →v ) 2 ___ ‡ →u ‡ 2 · ‡ →v ‡ 2 = = ‡ → u ‡ · ‡ → v ‡ _ 2 · ‡ → u ‡ · ‡ → v ‡ · � ______________ ‡ →u ‡ 2 · ‡ →v ‡ 2 – ( →u · →v ) 2 = 1 _ 2 · � ____________ →u 2 · →v 2 – ( →u · →v ) 2 (2) A = 1 _ 2 · � ____________ →u 2 · →v 2 – ( →u · →v ) 2 = 1 _ 2 · � ___________________________ (u 1 1 u 2) 2 · (v 1 1 v 2) 2 – [(u 1 1 u 2) · (v 1 1 v 2)] 2 = = 1 _ 2 · � __________________________ (u 1 2 + u 2 2) · (v 1 2 + v 2 2) – (u 1v 1 + u 2v 2) 2 = = 1 _ 2 · � ___________________________________________ u 1 2 · v 1 2 + u 2 2 · v 1 2 + u 1 2 · v 2 2 + u 2 2 · v 2 2 – u 1 2 · v 1 2 – 2u 1 u 2 v 1 v 2 – u 2 2 · v 2 2 = = 1 _ 2 · � ___________________ u 1 2 · v 2 2 – 2u 1 u 2 v 1 v 2 + u 2 2 · v 1 2 = 1 _ 2 · � _(u 1 v 2 – u 2 v 1) 2 = 1 _ 2 · ‡u 1 v 2 – u 2 v 1‡ u v φ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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