270 13.40 Berechne den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC mit A = (0 | 0), B = (6 | 0), C = (2 | 8)! LÖSUNG • ⟶ AB = (6 | 0) u (1 | 0), ⟶ AC = (2 | 8) u (1 | 4) • Seitenmittelpunkte: Mc = (3 | 0), Mb = (1 | 4) • Gleichungen der Seitensymmetralen: mc geht durch Mc und hat den Normalvektor (1 | 0): ( 1 0 ) · ( x y ) = ( 1 0 ) · ( 3 0 ) w x = 3 mb geht durch Mb und hat den Normalvektor (1 | 4): ( 1 4 ) · ( x y ) = ( 1 4 ) · ( 1 4 ) w x+4y=17 • Der Umkreismittelpunkt U ist der Schnittpunkt von mc und mb : { x = 3 x + 4y = 17 w x = 3, y = 3,5 w U = (3 | 3,5) 13.41 Berechne den Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC mit A = (– 5 | –2),B = (9 | –2),C = (4 | 10)! LÖSUNG • Seitenvektoren: ⟶ AB= (14 | 0) u (1 | 0) mit | (1 | 0) | = 1 ⟶ AC = (9 | 12) u (3 | 4) mit | (3 | 4) | = 5 ⟶ BC = (– 5 | 12), mit | (– 5 | 12) | = 13 • Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen: Wir addieren Vektoren mit gleichem Betrag: ⟶w α = 5 · (1 | 0) + 1 · (3 | 4) = (8 | 4) u (2 | 1) ⟶w β = 13 · (– 1 | 0) + 1 · (– 5 | 12) = (–18 | 12) u (– 3 | 2) • Gleichungen der Winkelsymmetralen: Normalvektor von w α: →n α = (1 | – 2) Normalvektor von w β: →n β = (2 | 3) w α geht durch A mit dem Normalvektor n α: w β geht durch B mit dem Normalvektor n β: ( 1 – 2) · ( x y ) = ( 1 – 2) · ( – 5 – 2) w x–2y=–1 ( 2 3 ) · ( x y ) = ( 2 3 ) · ( 9 – 2) w 2x+3y=12 • Der Inkreismittelpunkt I ist der Schnittpunkt von w α und w β: { x–2y=–1 2x+3y=12 w x = 3, y = 2 w I = (3 | 2) 13.42 Berechne den Umkreismittelpunkt U, den Höhenschnittpunkt H und den Umkreisradius r des Dreiecks ABC! a) A = (– 6 | 2), B = (8 | – 6), C = (14 | 12) b) A = (– 5 | – 3), B = (10 | 2), C = (3 | 9) 13.43 Berechne den Höhenschnittpunkt H, den Umkreismittelpunkt U und den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Zeige, dass S, H und U auf einer gemeinsamen Geraden liegen (der sogenannten Euler’schen Geraden), wobei S die Strecke HU im Verhältnis 2 :1 teilt! a) A = (– 1 | –7), B = (5 | 5), C = (2 | 8) b) A = (– 8 | –1), B = (10 | –1), C = (7 | 8) 13.44 Berechne den Inkreismittelpunkt I des Dreiecks! a) A = (– 3 | 0), B = (6 | 0), C = (12 | 8) c) A = (– 6 | 3), B = (6 | –6),C = (6 | 8) b) A = (– 4 | 4), B = (12 | –8),C = (3 | 4) d) A = (1 | 5), B = (10 | –7), C = (5 | 5) 0 2. A. 1. A. U mb ma Mb Ma Mc A B C mc 1 1 0 1 1 2. A. 1. A. A B C I wα wγ wβ AUFGABEN L 13 WEITERE ANWENDUNGEN VON VEKTOREN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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