269 13.2 Einheitsvektoren; Abstand Punkt – Gerade; Merkwürdige Punkte Winkelsymmetralen L Satz Die Winkelsymmetralen w1 und w2 zweier einander schneidenden Geraden g und h sind stets zueinander normal. BEWEIS Der Abbildung entnimmt man: 2 α + 2 β = 180°. Daraus folgt: α + β = 90°. 13.38 Ermittle Parameterdarstellungen der Winkelsymmetralen der Geraden g und h! g: X = (0 | 4) + s · (2 | 2), h: X = (0 | 4) + t · (7 | – 1) LÖSUNG • →g = (2 | 2), | →g | = � __ 8=2·� __ 2 , → h = (7 | – 1), | → h | = � __ 50=5·� __ 2 • Einen Richtungsvektor ⟶w 1 der Winkelsymmetralen w1 erhält man durch Addition zweier Richtungsvektoren von g und h mit gleichem Betrag (siehe Abbildung). Die Diagonale des von diesen beiden Vektoren aufgespannten Rhombus halbiert nämlich den Winkel zwischen g und h. Die Vektoren 5 · →gund 2 · → hhaben den gleichen Betrag, nämlich 10 · � __ 2 . ⟶w 1 =5· →g+2· → h= 5 · (2 | 2) + 2 · (7 | –1) = (24 | 8) u (3 | 1) w 2 © w 1 w ⟶w 2 = (–8 | 24) u (– 1 | 3) • w 1: X = (0 | 4) + u · (3 | 1), w 2: X = (0 | 4) + v · (– 1 | 3) 1. A. 2. h w1 w2 g A. 4 2 · h 8 121620242832 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 20 0 w2 w 1 5 · g Merkwürdige Punkte von Dreiecken L 13.39 Berechne den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC mit A = (– 8 | –1), B = (7 | –4),C = (4 | 7)! LÖSUNG • Seitenvektoren: ⟶ AB= (15 | – 3) = 3 · (5 | – 1), ⟶ AC= (12 | 8) = 4 · (3 | 2) • Gleichungen der Höhenlinien: hc geht durch C und hat den Normalvektor ⟶ AB : ( 5 – 1) · ( x y ) = ( 5 – 1) · ( 4 7 ) w x – y = 13 hb geht durch B und hat den Normalvektor ⟶ AC : ( 3 2 ) · ( x y ) = ( 3 2 ) · ( 7 – 4) w 3x+2y=13 • Der Höhenschnittpunkt H ist der Schnittpunkt von hc und hb: { 5x–y=13 3x+2y=13 w x = 3, y = 2 w H = (3 | 2) β β g h w2 w1 α α 0 1 1 2. A. 1. A. A B C H ha hc hb Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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