268 13.30 Welchen Abstand haben die beiden parallelen Geraden g und h voneinander? a) g: X = (0 | 1) + s (2 | –1), h: X = (–1 | 1) + t (–4 | 2) b) g: X = (–2 | 3) + s (4 | –3), h: X = (2 | 5) + t (–4 | 3) 13.31 Gegeben sind die Geraden g: 2x – 3y = –14 und h: – 3x + 2y = –19. Zeige: Der Punkt P = (4 | 3) hat von g bzw h den gleichen Normalabstand. 13.32 1) Welchen Abstand hat die Gerade g: 3x + 2y = 13 vom Ursprung? 2) Welcher Punkt der Geraden g hat vom Ursprung den kürzesten Abstand? 13.33 a) Gegeben sei die Gerade g: 3 x + 4 y = c. Berechne c * R so, dass der Punkt P = (2 | 3) von der Geraden g den Abstand d = 4 hat! b) Gegeben sei die Gerade g: 8 x – 6 y = –14. Berechne p1 * R so, dass der Punkt P = (p1 | 8) von der Geraden g den Abstand d = 3 hat! Flächeninhalt eines Dreiecks L Satz Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren →u= (u 1 | u 2) und → v = (v 1 | v 2) aufgespannten Dreiecks gilt: (1) Flächeninhalt in Vektorform A = 1 _ 2 · � ____________ →u 2 · →v 2 – ( →u · →v ) 2 (2) Flächeninhalt in Koordinatenform A = 1 _ 2 · | u 1 · v 2 – u 2 · v 1 | Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 285. 13.34 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A = (– 3 | 0), B = (3 | –2) und C = (0 | 4)! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT Das Dreieck wird von den Vektoren →u = ⟶ AB = (6 | –2) und →v = ⟶ AC = (3 | 4) aufgespannt. A = 1 _ 2 · � _____________________ ( 6 – 2) 2 · ( 3 4 ) 2 – [ ( 6 – 2) · ( 3 4 ) ] 2 = 1 _ 2 · � _________ 40 · 25 – 102 = 15 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT A = 1 _ 2 · | 6 · 4 – (– 2) · 3 | = 1 _ 2 ·30=15 13.35 Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren →u und →vaufgespannten Dreiecks! a) →u = (6 | 1), →v = (2 | 8) b) →u = (8 | 3), →v= (–4 | 7) c) →u = (10 | 0), →v = (– 1 | 10) 13.36 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) A = (0 | 1), B = (7 | 3), C = (5 | 10) b) A = (– 3 | –6),B = (9 | 4), C = (0 | 12) 13.37 Gib zwei Formeln für den Flächeninhalt eines von den Vektoren →u = (u 1 | u2) und →v = (v 1 | v2) aufgespannten Parallelogramms an! Berechne dann den Flächeninhalt für: a) →u = (3 | 6), →v= (–2 | 5) b) →u = (5 | – 4), →v = (3 | 9) c) →u = (0 | – 10), →v = (6 | 6) u v 1. A. 2. C B A A. 1 2 3 –3 –2 1 2 3 4 –2 –1 0 v u AUFGABEN L 13 WEITERE ANWENDUNGEN VON VEKTOREN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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