267 13.2 Einheitsvektoren; Abstand Punkt – Gerade; Merkwürdige Punkte BEWEIS Wir unterscheiden die drei auf der vorigen Seite dargestellten Fälle. 0° ª φ < 90°: | →a b | = | →a | · cos φ = | →a | · →a · → __b | →a | · | → b | = →a · → _b | → b | = | →a · → b | _ | → b | (da →a · → b > 0) φ = 90°: | →a b | = | →o | = 0 = | →a · → b | _ | → b | (da →a · → b = 0) 90° < φ ª 180°: | →a b | = | →a | · cos (180° – φ) = – | →a | · cos φ = – | →a | · →a · → __b | →a | · | → b | = | →a · → b | _ | → b | (da →a · → b < 0) 13.25 Gegeben sind die Vektoren →a = (1 | 5) und → b = (4 | 3). Berechne den Betrag der Normalprojektion des Vektors →aauf den Vektor → b ! LÖSUNG | →a b | = | →a · → b | _ | → b | = | ( 1 5 ) · ( 4 3 ) | __ � _____ 16 + 9 = †1 · 4 + 5 · 3† __ � __ 25 = 19 _ 5 = 3,8 13.26 Stelle die Vektoren →a und → bals Pfeile von O aus dar, zeichne die Normalprojektion von →a auf → b ein und berechne deren Betrag! Kontrolliere durch Messung! a) →a = (3 | 2), → b = (4 | 0) c) →a = (1 | 4), → b = (4 | – 3) b) →a= (–2 | 5), → b = (6 | 8) d) →a= (–3 | 1), → b = (3 | 3) Abstand eines Punktes von einer Geraden L Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g kann folgendermaßen berechnet werden: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A auf g und einen Normalvektor →nvon g. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Betrag der Normalprojektion des Vektors ⟶ AP auf →n : d = | ⟶ AP · →n | __ | →n | Wir haben somit eine Formel bewiesen, die auf Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) zurückgeht: Satz (Hesse’sche Abstandsformel) Für den Abstand d eines Punktes P * ℝ 2 von einer Geraden g * ℝ 2 gilt: d = | ⟶ AP · →n | __ | →n | Dabei ist A ein beliebiger Punkt von g und →nein Normalvektor von g. 13.27 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a) P = (2 | – 6), g: 3 x – 4 y = 10 c) P = (4 | 6),g:12x–5y–5=0 b) P = (3 | –3),g:x+2y=2 d) P = (– 5 | 2),g:6x+8y–7=0 13.28 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a) P = (1 | 8), g: X = (0 | 1) + t · (3 | 2) b) P = (7 | –2), g: X = (1 | – 2) + t · (2 | 5) 13.29 Berechne für das Dreieck ABC die Längen der Höhen und die Maße der Winkel! a) A = (– 2 | 4), B = (3 | –1), C = (6 | 8) c) A = (0 | 0), B = (6 | 0), C = (3 | 4) b) A = (0 | 0), B = (8 | 6), C = (5 | 12) d) A = (– 6 | 8), B = (10 | –4), C = (1 | 8) AUFGABEN L g A P d d n AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=