265 13.2 Einheitsvektoren; Abstand Punkt – Gerade; Merkwürdige Punkte 13.2 Einheitsvektoren; Abstand Punkt – Gerade; Merkwürdige Punkte Einheitsvektoren 13.13 Sei →a ≠ →o. Zeige: Der Vektor →a 0 = 1 _ † → a † · →aist zu →aparallel, zu →agleich orientiert und hat den Betrag 1. LÖSUNG • →a 0 = 1 _ † → a † · →a w →a 0 u →a. Wegen † → a † > 0 ist →a 0 zu →agleich orientiert. • | →a 0 | = | 1 _ † → a † · →a | = 1 _ † → a † · † → a † = 1 Definition Der Vektor → a 0 = 1 _ † → a † · →a heißt der zu →agehörige Einheitsvektor ( →a ≠ →o ). Merke Der Vektor →a 0 ist zu →aparallel, zu →agleich orientiert und hat den Betrag 1. 13.14 Berechne den zu →agehörigen Einheitsvektor →a 0 ! a) →a = (2 | 3) b) →a = (0 | 9) c) →a = (5 | – 12) d) →a= (–2 | 2) 13.15 Ermittle jenen Vektor → b, der zu →a= (–6 | 8) parallel und gleich orientiert ist sowie den Betrag a) 1, b) 5, c) 10, d) 12, e) k hat! 13.16 Berechne den zu →a = ⟶ ABgehörigen Einheitsvektor →a 0 ! a) A = (1 | 4), B = (3 | 7) c) A = (0 | 3), B = (3 | 0) e) A = (8 | –8), B = (1 | 16) b) A = (5 | –4), B = (1 | 3) d) A = (4 | 10), B = (– 3 | 9) f) A = (2 | – 8), B = (10 | 7) Abtragen von Strecken L 13.17 Vom Punkt P = (1 | 2) aus wird eine Strecke der Länge 10 in Richtung des Vektors →a = (3 | 4) abgetragen. Ermittle 1) grafisch, 2) rechnerisch die Koordinaten des Endpunktes Q dieser Strecke! LÖSUNG 1) Laut Abbildung ist Q = (7 | 10). 2) Wir tragen den zu →agehörigen Einheitsvektor →a 0 von P aus 10-mal ab: Q = P + 10 · →a 0 =P+10· 1 _ † → a † · † → a † = ( 1 2 ) + 10 · 1 _ 5 · ( 3 4 ) = ( 7 10 ) 13.18 Ermittle jene Punkte auf g: X = (5 | 2) + t · (4 | 3), die von P = (1 | p2) * g den Abstand 3 haben! LÖSUNG Zeige selbst: P = (1 | – 1); →g = (4 | 3), daher ist →g 0 = 1 _ 5 · (4 | 3) Q1 = P + 3 · →g 0 = (1 | – 1) + 3 · 1 _ 5 · (4 | 3) = ( 17 _ 5 | 4 _ 5 ) = (3,4 | 0,8) Q2 = P – 3 · →g 0 = (1 | – 1) – 3 · 1 _ 5 · (4 | 3) = (– 7 _ 5 | – 14 _ 5 ) = (– 1,4 | – 2,8) a a0 kompakt S. 271 AUFGABEN L P Q a 1. A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0 123456789 2. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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