264 Vorzeichen des Skalarprodukts L Für das Winkelmaß φ zweier von →overschiedener Vektoren →a , → b * ℝ 2 gilt: cos φ = →a · → __b | →a | · | → b | . Daraus folgt: →a · → b = † → a † · | → b | · cos φ Da † → a † und | → b | positiv sind, folgt daraus weiter: • →a · → b > 0 É cos φ > 0 É 0° ª φ < 90° spitzer Winkel a b φ • →a · → b = 0 É cos φ = 0 É φ = 90° rechter Winkel a b • →a · → b < 0 É cos φ < 0 É 90° < φ ª 180° stumpfer Winkel a b φ Mit dem zweiten dieser drei Fälle haben wir jetzt einen Satz bewiesen, den wir schon im Abschnitt 11.6 formuliert, aber dort nicht bewiesen haben. Satz (Orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a , → b * ℝ 2 sind genau dann zueinander normal, wenn →a · → b = 0 ist. 13.09 Die Vektoren →a und → bseien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dargestellt. Gib ohne Zeichnung an, ob die beiden Pfeile miteinander einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel einschließen! a) →a = (5 | 1), → b = (5 | 3) c) →a= (–4 | – 3), → b = (3 | – 4) e) →a= (–2 | 3), → b = (2 | 7) b) →a= (–6 | 2), → b = (6 | 4) d) →a = (1 | 6), → b = (1 | – 6) f) →a= (–3 | 3), → b = (3 | 3) 13.10 Bilden die Vektoren →u und →veinen spitzen Winkel? Wenn nicht, ändere das Vorzeichen einer Koordinate so ab, dass dies der Fall ist! a) →u = (8 | – 11), →v= (–5 | 6) b) →u = ( 3 _ 2 | 1 _ 2 ), →v = ( 1 _ 3 | – 1 _ 2 ) c) →u = (– 5 _ 4 | 4 _ 5 ), →v = ( 4 _ 5 | 5 _ 4 ) 13.11 Gegeben ist der Vektor → a = (5 | – 3). Gib zwei Vektoren an, die mit → a einen a) spitzen Winkel, b) stumpfen Winkel, c) rechten Winkel einschließen! 13.12 Gegeben ist das Dreieck ABC. Entscheide rechnerisch, ob das Dreieck spitzwinkelig, stumpfwinkelig oder rechtwinkelig ist! a) A = (– 5 | –5),B = (7 | –1), C = (2 | 4) c) A = (– 8 | –1), B = (6 | 1), C = (–6 | 5) b) A = (– 6 | –2),B = (6 | 1), C = (2 | 5) d) A = (– 3 | –5),B = (8 | –2),C = (2 | 3) AUFGABEN L 13 WEITERE ANWENDUNGEN VON VEKTOREN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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