262 13.1 Winkelmaß von Vektoren; Vorzeichen des Skalarprodukts Berechnen von Winkelmaßen Definition Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a , → b * R2 seien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dargestellt. Das Maß φ des Winkels, den diese beiden Pfeile miteinander einschließen, nennt man das Winkelmaß der Vektoren →a und → b . • Falls die beiden Pfeile gleich gerichtet sind, ist φ = 0° (Abb. 13.1). • Falls die beiden Pfeile entgegengesetzt gerichtet sind, ist φ = 180° (Abb. 13.2). • In allen anderen Fällen nimmt man von den beiden möglichen Winkelmaßen φ und 360° – φ stets das kleinere (Abb. 13.3). S 180° 360° – φ φ b S b b a a a Abb. 13.1 Abb. 13.2 Abb. 13.3 Für das Winkelmaß φ zweier Vektoren gilt stets: 0° ª φ ª 180° 13.01 Stelle die Vektoren →a = (5 | –2) und → b = (– 1 | 4) durch Pfeile von O aus dar und berechne das Maß φ des Winkels, den diese beiden Pfeile miteinander einschließen! LÖSUNG Wir verwenden den Cosinussatz: † → b – →a † 2 = † → a † 2 + † → b † 2 – 2 · † → a † · † → b † · cos φ cos φ = † → a † 2 + † → b † 2 – † → b – →a † 2 __ 2 · † → a † · † → b † = →a 2 + → b 2 – ( → b – →a ) 2 __ 2 · † → a † · † → b † = = →a 2 + → b 2 – [ → b 2 –2·(→a · → b ) + →a 2 ] ____ 2 · † → a † · † → b † = →a · → b _ † → a † · † → b † cos φ = ( 5 – 2) · ( – 1 4 ) ___ | ( 5 – 2) | · | ( – 1 4 ) | = 5 · (– 1) + (– 2) · 4 ___ � __ 29 · � __ 17 w φ ≈ 125,8° L a φ b S 2. A. 1. A. φ b b –a a 13 GRUNDKOMPETENZEN Die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts kennen und den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln können. Einheitsvektoren ermitteln, verständig einsetzen und interpretieren können AG-L 3.6 AG-L 3.7 WEITERE ANWENDUNGEN VON VEKTOREN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=