26 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Äquivalenzumformungen von Gleichungen R Äquivalente Gleichungen Zwei Gleichungen, welche die gleichen Variablen enthalten und die gleichen Belegungen der Variablen erlauben, heißen äquivalent (gleichwertig), wenn sie bei gleichen Belegungen der Variablen beide eine wahre oder beide eine falsche Aussage ergeben. Zwischen äquivalenten Gleichungen darf man ein Äquivalenzzeichen (É) setzen. BEISPIELE • Die Gleichungen x + y = z und x = z – y sind äquivalent, denn für x, y und z darf man beliebige reelle Zahlen einsetzen und bei jeder Belegung von x, y, z sind beide Gleichungen wahr oder beide falsch. (Dies folgt aus dem Zusammenhang von Addition und Subtraktion.) Daher darf man schreiben: x + y = z É x = z – y. • Die Gleichungen x = 2 · y + 1 und y = 2 · x + 1 sind nicht äquivalent, denn für x = 3 und y = 1 ist die erste Gleichung wahr, die zweite Gleichung hingegen falsch. Eine Umformung einer Gleichung in eine äquivalente Gleichung bezeichnet man als Äquivalenzumformung. Um Gleichungen in äquivalente Gleichungen umzuformen, bedient man sich gewisser Gleichungsumformungsregeln. Die wichtigsten dieser Regeln werden im Folgenden angeführt und an Beispielen illustriert. Dabei sind A, B und C stets reelle Zahlen. Elementarumformungsregeln (1) A + B = C É A = C – B (2) A · B = C É A = C _ B (B ≠ 0) Unschärfer formuliert: Man darf ein Glied bzw. einen Faktor auf die andere Seite geben, wenn man die jeweilige Rechenoperation durch die Gegenoperation ersetzt. BEISPIELE x + y _ 2 = z – 3 É x = z – 3 – y _ 2 u · (v – 1) = w É u = w _ v – 1 (v ≠ 1) Waageregeln (1) A = B É A + C = B + C (3) A = B É A · C = B · C (C ≠ 0) (2) A = B É A – C = B – C (4) A = B É A _ C = B _ C (C ≠ 0) Unschärfer formuliert: Man darf links und rechts dieselbe Rechenoperation durchführen. Als Hilfsvorstellung kann eine Waage dienen, die im Gleichgewicht bleiben soll. In der Praxis sind diese Regeln hauptsächlich nützlich, wenn man sie von rechts nach links liest. BEISPIELE x _ 2 + y + 3 = z + 3 É x _ 2 +y=z 3 · (x + y) = 3 · z É x + y = z Wurzelziehen A = B É � _ A = � _ B gilt nur, wenn A, B * R 0 + (weil der Radikand, dh. die Zahl unter der Wurzel, nicht negativ sein darf). Quadrieren A = B É A 2 = B 2 gilt nur, wenn A und B beide positiv, beide negativ oder beide 0 sind. Zwar gilt immer A = B w A 2 = B 2. Die Umkehrung A2 = B 2 w A = B gilt aber nicht immer. Zum Beispiel folgt aus (– 2)2 = 2 2 nicht – 2 = 2. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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