256 Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen R Wir wissen schon, dass ein aus zwei Gleichungen bestehenden lineares Gleichungssystem in zwei Variablen keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben kann. Welcher Lösungsfall eintritt, kann man schnell erkennen, wenn man die Gleichungen als Geraden deutet und die Normalvektoren dieser Geraden betrachtet. Da jede Lösung des Gleichungssystems einem Punkt entspricht, der auf beiden Geraden liegt, folgt aus dem Satz auf Seite 254 unmittelbar: Satz Gegeben sei das Gleichungssystem: { a 1 x + a 2 y = a 0 mit (a1 | a 2) ≠ (0 | 0) b 1 x + b 2 y = b 0 mit (b1 | b 2) ≠ (0 | 0) • Gilt (b 1 | b 2) = r · (a1 | a 2) für kein r * R*, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. • Gilt (b 1 | b 2) =r·(a1 | a 2) für ein r * R*, dann hat das Gleichungssystem – keine Lösung, wenn b 0 ≠r·a0 ist, – unendlich viele Lösungen, wenn auch b 0 =r·a0 ist. (In diesem Fall ist die Lösungsmenge eine Gerade in R 2.) 12.75 Für welche a * R hat das folgende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, genau eine Lösung bzw. keine Lösung? { x + 2y = 5 4x+8y=a LÖSUNG Wir vergleichen die Normalvektoren: Wegen (4 | 8) = 4 · (1 | 2) sind die beiden Geraden parallel. • Ist a = 4 · 5 = 20, so fallen die beiden Geraden zusammen und es gibt unendlich viele Lösungen. • Ist a ≠ 20, so sind die beiden Geraden verschieden und es gibt keine Lösung. • Der Fall, dass es genau eine Lösung gibt, tritt für kein a * R ein. 12.76 Deute die Gleichungen des folgenden Gleichungssystems als Geraden! Entscheide – ohne das Gleichungssystem zu lösen – aufgrund der Normalvektoren der Geraden, ob das Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt! a) { –1,5x + 2y = –11 6x–8y=45 b) { 13x – 26y =1 –26x + 52y = –2 c) { 8x+7y=9 –4x+6y=5 12.77 Deute die Gleichungen des folgenden Gleichungssystems als Geraden! Gib mit Hilfe der Normalvektoren Werte für a und b so an, dass das Gleichungssystem 1) genau eine Lösung, 2) keine Lösung, 3) unendlich viele Lösungen besitzt! a) { ax+3y=15 9x+3y=b b) { ax–22y=b 7x–11y=9 c) { 9x+2y=–4 3x+ay=b 12.78 Ermittle im folgenden Gleichungssystem die Zahl p * R so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat! Wie viele Lösungen hat es für jeden anderen Wert von p? a) { x+3y=–2 2x+p·y=–4 b) { 5x–7y=11 p · x + 14 y = – 22 c) { p·x–2y=8 x+y=–4 d) { 4 x – p · y = 1 –12x + 9y = –3 AUFGABEN R 12 GERADEN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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