254 Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in Normalvektordarstellung R Die gegenseitige Lage zweier Geraden kann man nicht nur anhand von Richtungsvektoren, sondern auch anhand von Normalvektoren ermitteln. Wir betrachten zwei Geraden g und h: g: a 1x + a 2y = a 0 mit →n g = (a1 | a 2) ≠ (0 | 0) h: b 1x + b 2y = b 0 mit →n h = (b 1 | b 2) ≠ (0 | 0) Wir unterscheiden folgende Fälle: 1. Fall: →n g û →n h . In diesem Fall schneiden die beiden Geraden einander (Abb. 12.1). 2. Fall: →n g u →n h , dh. →n h =r· →n g (mit r * R*). In diesem Fall sind g und h zueinander parallel und lassen sich so darstellen: g: a 1 x + a 2 y = a0 h: r·a1 x+r·a2 y = b0 • I st b0 ≠r·a0 , dann stellen die beiden Gleichungen verschiedene Geraden dar. Somit sind g und h parallel und verschieden (Abb. 12.2). • Ist auch b0 =r·a0, dann stellen die beiden Gleichungen dieselbe Gerade dar. Somit sind g und h parallel und zusammenfallend (Abb. 12.3). 1. A. 2. A. g ng h nh 1. A. 2. A. nh h ng g 1. A. 2. A. nh ng g = h Abb. 12.1 Abb. 12.2 Abb. 12.3 g und h schneiden einander g ° h={S} g und h sind parallel und verschieden g ° h = ¿ g und h sind parallel und zusammenfallend g ° h = g = h Wir fassen zusammen: Satz Gegeben sind zwei Geraden: g: a 1 x + a2 y = a0 mit →n g = (a 1 | a 2) ≠ (0 | 0) h: b 1 x + b2 y = b0 mit →n h = (b 1 | b 2) ≠ (0 | 0) • Ist →n g û →n h , dann schneiden g und h einander. • Ist →n g u →n h , dh. b1 =r·a1 und b2 =r·a2 (mit r * R*), dann sind g und h – parallel und verschieden, wenn b 0 ≠r·a0 ist, – parallel und zusammenfallend, wenn auch b 0 =r·a0 ist. 12 GERADEN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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