252 Jede Gerade mit dem Normalvektor →n= (n 1 | n 2) kann durch eine Gleichung der Form n 1 x + n2 y = c dargestellt werden. Umgekehrt stellt jede solche Gleichung (sofern n 1 , n 2 nicht beide gleich 0 sind) eine Gerade mit dem Normalvektor →n= (n 1 | n 2) dar. Somit lässt sich feststellen: Ein Normalvektor kann aus der Gleichung n 1x + n 2y = c direkt abgelesen werden: →n= (n 1 | n 2). 12.51 a) Ermittle eine Gleichung der Geraden durch den Punkt P = (3 | 1) mit dem Normalvektor → n = (1 | 2)! b) Gib einen Normalvektor der Geraden mit der Gleichung 5 x – 2 y = 7 an! LÖSUNG a) 1. Art: →n·X=→n · P ( 1 2 ) · ( x y ) = ( 1 2 ) · ( 3 1 ) x+2y=5 2. Art: n1 x + n2 y = n1 p1 + n2 p2 1 · x + 2 · y = 1 · 3 + 2 · 1 x+2y=5 b) Ein Normalvektor kann aus der Gleichung abgelesen werden: →n = (5 | – 2) Parameterdarstellung und Normalvektordarstellung R Insgesamt kennen wir nun zwei Darstellungen für Geraden in R2: Parameterdarstellung: X = P + t · →g Normalvektordarstellung (Gleichung): →n·X=→n · P bzw. n 1 x + n2 y = c 12.52 Gegeben ist die Gerade g: X = (2 | 3) + t · (1 | 4). Gib eine Gleichung der Geraden an! LÖSUNG • fester Punkt von g: P = (2 | 3) • Richtungsvektor von g: →g = (1 | 4) w Normalvektor von g: →n = (4 | – 1) • Gleichung von g: ( 4 – 1) · ( x y ) = ( 4 – 1) · ( 2 3 ) É 4x–y=5 12.53 Gegeben ist die Gerade g: 3 x + 2 y = 4. Gib eine Parameterdarstellung der Geraden an! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT • Punkt auf g: Für x = 0 ergibt sich aus der Geradengleichung y = 2, also P = (0 | 2). • Normalvektor von g: →n = (3 | 2) w Richtungsvektor von g: →g = (2 | – 3) • Parameterdarstellung von g: X = (0 | 2) + t · (2 | – 3) 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT • Punkt auf g: P = (0 | 2) wie vorhin • Explizite Form der Geradengleichung: y = – 3 _ 2 x + 2 w k = – 3 _ 2 Richtungsvektor →g = (1 | k) = (1 | – 3 _ 2 ) u (2 | – 3) • Parameterdarstellung von g: X = (0 | 2) + t · (2 | – 3) Merke Hat eine Gerade die Steigung k, dann ist (1 | k) ein Richtungsvektor der Geraden. kompakt S. 257 1. A. 2. A. 1 g k g 12 GERADEN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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