251 12.3 Normalvektordarstellung einer Geraden in R 2; Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme Beschreibung einer Geraden durch Punkt und Normalvektor 12.50 Die Gerade g geht durch den Punkt P = (3 | 1) und verläuft normal zum Vektor →n = (1 | 2). Zeichne die Gerade! LÖSUNG Wir zeichnen zuerst den Punkt P und stellen →n als Pfeil von P aus dar. Die Gerade g kann dann normal zu diesem Pfeil durch P gezeichnet werden. 1. A. 2. A. 1 2 g P 3 1 n 0 Definition Ein Vektor →n heißt Normalvektor der Geraden g, wenn →nzu allen Richtungsvektoren von g normal ist. Wir betrachten eine Gerade g, die durch den Punkt P geht und den Vektor →n ≠ →oals Normalvektor hat. Für jeden von P verschiedenen Punkt X * R 2 gilt: X * g É → n © → PX É → n · → PX = 0 É → n · (X – P) = 0 É → n · X = →n · P Insgesamt gilt also: X * g É → n · X = →n · P Diese Äquivalenz gilt aber auch für X = P, da in diesem Fall beide Aussagen wahr sind. BEACHTE Die Gleichung →n·X=→n· P wird zwar mit Hilfe von Vektoren angeschrieben, ist jedoch eine gewöhnliche Gleichung zwischen Zahlen, denn auf beiden Seiten der Gleichung steht jeweils ein Skalarprodukt zweier Vektoren, also eine reelle Zahl. Die Gleichung →n·X=→n · P kann man in Koordinatenform anschreiben, wenn man →n= (n 1 | n 2), X = (x | y) und P = (p1 | p 2) setzt. Dann geht die Gleichung →n·X=→n· P über in: ( n 1 n 2) · ( x y ) = ( n 1 n 2) · ( p 1 p 2) n 1 x + n2 y = n1 p 1 + n 2 p 2 Setzt man zur Abkürzung noch n 1 p 1 + n 2 p 2 = c, erhält man: n1 x + n2 y = c Wir haben somit insgesamt bewiesen: Satz Ist g eine Gerade der Ebene durch den Punkt P = (p 1 | p 2) und →n= (n 1 | n 2) ≠ (0 | 0) ein Normalvektor von g, dann gilt für alle X * R 2: X * g É → n · X = →n · P bzw. (x | y) * g É n 1 x + n 2 y = c mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 Definition Die Gleichung →n·X=→n · P bzw. n 1 x + n2 y = c nennt man eine Normalvektordarstellung (oder kurz Gleichung) der Geraden g durch den Punkt P mit dem Normalvektor →n ≠ →o . R g P n X g P n X 12.3 NORMALVEKTORDARSTELLUNG EINER GERADEN IN R 2; LÖSUNGSFÄLLE FÜR LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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