250 Schnitt zweier Geraden R 12.43 Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und ermittle den Schnittpunkt S! g: X = (2 | – 2) + t · (1 | 2), h: X = (–1 | 2) + u · (3 | 1) LÖSUNG Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind nicht parallel. Somit schneiden g und h einander. Ein Punkt S liegt genau dann auf g und h, wenn es ein t * R und ein u * R gibt, sodass: ( 2 – 2) + t · ( 1 2 ) = ( – 1 2 ) + u · ( 3 1 ) É { 2+t=–1+3u –2+2t=2+u Löse dieses Gleichungssystem selbst! Es ergibt sich: t = 3 und u = 2. Einsetzen in die Parameterdarstellung von g oder h liefert den gesuchten Schnittpunkt S: S = ( 2 – 2) + 3 · ( 1 2 ) = ( 5 4 )bzw. S = ( – 1 2 ) + 2 · ( 3 1 ) = ( 5 4 ) BEACHTE Dem Schnittpunkt S entsprechen im Allgemeinen auf g und h verschiedene Parameterwerte. Aus diesem Grund müssen für die Parameter von g und h unbedingt verschiedene Buchstaben gewählt werden. 12.44 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h! a) g: X = (1 | 2) + t · (3 | – 1), h:X=(–5 | 2) + u · (– 2 | 5) b) g: X = (3 | – 4) + t · (1 | 2), h: X = (5 | 0) + u · (4 | 8) c) g: X = (2 | 1) + t · (1 | – 1), h:X=(–3 | 5) + u · (– 2 | 2) d) g: X = (3 | 0) + t · (2 | 1), h: X = (6 | 7) + u · (– 8 | 5) e) g: X = (1 | – 2) + t · (3 | – 2), h: X = (7 | 6) + u · (– 3 | 2) 12.45 Gegeben sind die Geraden a: X = (3 | 4) + s · (– 1 | 2) und b: X = (2 | 8) + t · (5 | – 10). Welche beiden Aussagen sind richtig? Kreuze an! a = b a ≠ b a ° b = {(3 | 4)} a © b a u b 12.46 Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und ermittle den Schnittpunkt S! a) g: X = (2 | – 1) + t · (– 1 | 1), h:X=(–1 | 2) + u · (1 | 2) b) g:X=(–2 | – 1) + t · (4 | 3), h:X=(–8 | 4) + u · (5 | – 1) c) g: X = (2 | – 6) + t · (1 | 6), h = AB mit A = (4 | –5),B = (6 | – 12) d) g: X = (7 | 0) + t · (3 | 2), h=CDmitC=(–2 | –3),D = (22 | 7) 12.47 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B, die Gerade h verläuft durch die Punkte C und D. Ermittle durch Zeichnung und Rechnung den Schnittpunkt von g und h! a) g:A=(–2 | 0), B = (2 | – 4), h:C=(–6 | 1), D = (0 | 4) b) g:A=(–1 | –3),B = (11 | –1), h: C = (9 | –1), D = (1 | – 3) 12.48 Die Geraden g1 , g2 , g3 bilden ein Dreieck. Berechne die Eckpunkte dieses Dreiecks! a) g1: X = (2 | 3) + t · (1 | 1), g2: X = (5 | 6) + u · (– 1 | 1), g3: X = (4 | 11) + v · (– 1 | – 3) b) g1: X = (13 | 5) + t · (9 | 4), g2: X = (11 | – 3) + u · (– 7 | 4), g3:X=(–1 | 13) + v · (– 1 | – 4) 12.49 Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCD! a) A = (– 3 | 1), B = (5 | –1), C = (6 | 4), D = (–10 | 8) b) A = (2 | –6),B = (7 | –2),C = (6 | 2), D = (1 | – 5) kompakt S. 257 AUFGABEN R 12 GERADEN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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