249 12.2 GEGENSEITIGE LAGE UND SCHNITT VON GERADEN IN R 2 12.38 Gegeben sind Parameterdarstellungen von sechs Geraden. Setze das Zeichen „u“ oder „©“ ein! g1:X=(–3 | 0) + s · (1 | 1) g3: X = (0 | – 1) + u · (– 1 | 1) g5: X = (9 | – 1) + u · (5 | 5) g2:X=(–4 | – 1) + t · (2 | 3) g4: X = (7 | 2) + v · (– 0,5 | – 0,5) g6: X = (1 | 0) + v · (1,5 | – 1) g1 g3 g3 g4 g1 g4 g3 g5 g2 g6 g1 g5 12.39 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden h an, die zur Geraden g parallel ist und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft! a) g: X = (7 | – 8) + t · (3 | 2) c) g: X = (2 | 5) + t · (– 4 | – 7) b) g: X = (2 | 0) + t · (0 | 2) d) g: X = (2 | 11) + t · (10 | – 20) 12.40 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden an, die durch den Punkt R geht und 1) zur Geraden g parallel ist, 2) auf g normal steht! Untersuche dann, ob der Punkt S auf dieser Geraden liegt! a) g: X = (3 | 3) + t · (4 | –1), R = (7 | 4), S = (–1 | 6) b) g:X=(–1 | 2) + t · (3 | 5), R = (6 | 2), S = (15 | 17) c) g=PQmitP=(–4 | 1), Q = (2 | 5), R = (3 | –4),S = (9 | – 1) d) g=PQmitP=(–2 | 3), Q = (3 | 1), R = (4 | 7), S = (9 | 5) 12.41 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden h an, die zu g normal steht und durch A verläuft, sowie eine Parameterdarstellung der Geraden k, die zu h normal steht und durch B verläuft! g: X = (2 | 3) + t · (1 | –1), A = (4 | 3),B = (–4 | 0) Gegenseitige Lage zweier Geraden R Zwei Geraden in R2 können folgende gegenseitigen Lagen einnehmen: g h S g h g = h g und h schneiden einander: g ° h={S} g und h sind parallel und verschieden: g ° h = ¿ g und h sind parallel und zusammenfallend: g ° h = g = h 12.42 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h! a) g: X = (2 | – 2) + t · (1 | 2), h:X=(–1 | 2) + u · (3 | 1) b) g: X = (2 | – 3) + t · (2 | – 4), h: X = (1 | 1) + u · (4 | – 8) c) g: X = (1 | 3) + t · (3 | 2), h:X=(–2 | 1) + u · (6 | 4) LÖSUNG a) Da die Richtungsvektoren →g = (1 | 2) und → h = (3 | 1) nicht zueinander parallel sind, schneiden g und h einander. b) Da (4 | – 8) = 2 · (2 | – 4) ist, sind die Richtungsvektoren von g und h zueinander parallel. Somit sind g und h zueinander parallel. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallend oder verschieden sind, betrachten wir die Punkte P = (2 | – 3) * g und Q = (1 | 1) * h. Wegen ⟶ PQ = (– 1 | 4) û →gsind g und h verschieden. c) Da (6 | 4) = 2 · (3 | 2) ist, sind die Richtungsvektoren von g und h zueinander parallel. Somit sind g und h zueinander parallel. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallend oder verschieden sind, betrachten wir die Punkte R = (1 | 3) * gundS=(–2 | 1) * h. Wegen ⟶ RS= (–3 | – 2) u → g fallen g und h zusammen. g h g h P Q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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