246 Geraden in besonderen Lagen R 12.19 Die Gerade g verläuft durch O = (0 | 0) und den Punkt a) A = (– 4 | 3), b) C = (2 | 2), c) S = ( 3 _ 2 | 15 _ 2 ) . Gib eine Parameterdarstellung von g an! 12.20 Gib eine Parameterdarstellung a) der 1. Achse, b) der 2. Achse, c) der 1. Mediane an! 12.21 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden g durch P = (1 | 2) an, die a) parallel zur 1. Achse, b) parallel zur 2. Achse ist! Verschiedene Parameterdarstellungen derselben Geraden R 12.22 Die Punkte A = (1 | 2), B = (5 | 8) und der Mittelpunkt M = (3 | 5) der Strecke AB liegen auf einer Geraden g. 1) Welche der folgenden Vektorgleichungen sind eine Parameterdarstellung von g? (1) X = A + t · ⟶ AB (2) X = B + t · ⟶ BA (3) X = A + t · ⟶AM 2) Ermittle die Parameterwerte der Punkte A, M und B in diesen drei Parameterdarstellungen! LÖSUNG 1) Es sind alle drei, denn für eine Parameterdarstellung von g darf man einen beliebigen (festen) Punkt auf g und einen beliebigen Richtungsvektor von g wählen. 2) Aus der Zeichnung kann man folgende Parameterwerte ablesen: Für X = A + t · ⟶ AB: A:t=0; M:t=1 _ 2 ; B:t=1 Für X = B + t · ⟶ BA: A: t = 1; M: t = 1 _ 2 ; B:t=0 Für X = A + t · ⟶AM: A:t=0; M:t=1; B: t = 2 Merke Ein und dieselbe Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben. Der Parameterwert eines Punktes auf der Geraden hängt von der gewählten Parameterdarstellung ab. 12.23 Gegeben ist die Gerade mit der Parameterdarstellung X = (4 | 2) + t · (6 | 4). a) Wir halbieren die Koordinaten des Richtungsvektors: X = (4 | 2) + t · (3 | 2). Stellt diese Parameterdarstellung noch dieselbe Gerade dar? b) Wir halbieren die Koordinaten des festen Punktes: X = (2 | 1) + t · (6 | 4). Stellt diese Parameterdarstellung noch dieselbe Gerade dar? LÖSUNG a) Ja, denn man darf anstelle des Richtungsvektors (6 | 4) den halb so langen Richtungsvektor (3 | 2) nehmen. b) Nein, denn der Punkt (2 | 1) liegt nicht mehr auf der Geraden (siehe nebenstehende Abbildung). Man darf eine Parameterdarstellung X = P + t · →geiner Geraden vereinfachen, indem man ein geeignetes Vielfaches des Richtungsvektors →gnimmt. Mit dem festen Punkt P darf man dies im Allgemeinen nicht machen. AUFGABEN R 0 1 1 2. A. 1. A. B M A 0 2 4 1 2 1. A. 2. A. 12 GERADEN IN R 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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