245 12.1 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN IN R 2 Ermitteln unbekannter Koordinaten R 12.13 Gegeben ist die Gerade g: X = (1 | 1) + t · (2 | – 1). Ermittle die unbekannte Koordinate des Punktes A = (–1 | a2) auf g! LÖSUNG Da A auf g liegt, gibt es ein t * R, sodass A = (1 | 1) + t · (2 | – 1). ( – 1 a 2) = ( 1 1 ) + t · ( 2 – 1) É { –1=1+2t a 2 = 1 – t É t=–1unda2 = 2. Also ist A = (–1 | 2). 12.14 Gegeben ist die Gerade g: X = (2 | 1) + t · (5 | –1). Ermittle die unbekannten Koordinaten der angegebenen Punkte auf g! a) A = (7 | a2), B = (b1 | – 1) c) U = (u1 | –2),V = (v1 | 3) e) Y = (y1 | 17), Z = (z1 | – 4) b) Q = (q1 | 2), R = (22 | r2) d) S = (– 18 | s2), T = (22 | t2) f) S = (s1 | 1),T = (–8 | t2) 12.15 Die Gerade g verläuft durch die Punkte P, Q und R. Ermittle die unbekannte Koordinate von R! a) P = (1 | 1), Q = (2 | –3),R = (2 | r2) c) P = (7 | 7), Q = (2 | 4),R = (–8 | r2) b) P = (4 | 0),Q = (–6 | –1), R = (r1 | – 2) d) P = (0 | –1,5), Q = (1,5 | 2,5), R = (r1 | – 9,5) Deutung des Parameters als Zeit R 12.16 Ein punktförmiger Körper bewegt sich entlang der Geraden g: X = P + t · →gmit P = (1 | 1) und →g = (2 | 1). Er befindet sich zu Beginn im Punkt P und bewegt sich pro Sekunde um →g weiter. In welchem Punkt X befindet sich der Körper nach 2, 3, 4 und nach t Sekunden? LÖSUNG Der Körper befindet sich • nach 2 s im Punkt X = (1 | 1) + 2 · (2 | 1) = (5 | 3), • nach 3 s im Punkt X = (1 | 1) + 3 · (2 | 1) = (7 | 4), • nach 4 s im Punkt X = (1 | 1) + 4 · (2 | 1) = (9 | 5), • nach t s im Punkt X = (1 | 1) + t · (2 | 1) =(1+2t | 1 + t). 0 1 1 2. A. 1. A. g P nach 4 s nach 3 s nach 2 s 12.17 Ein punktförmiger Körper bewegt sich gleichförmig auf einer geraden Bahn. Er befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt A = (100 | 100) und zum Zeitpunkt t = 1 im Punkt B = (250 | 300) (Zeit in Sekunden). a) Ermittle rechnerisch, wo sich der Körper nach 0,1 s, 0,5 s, 2 s und nach t Sekunden befindet! b) Ermittle rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt sich der Körper im Punkt P = (400 | p2) bzw. im Punkt Q = (550 | q2) befindet! c) Zeige rechnerisch, dass sich der Körper nischt durch den Punkt R = (325 | 450) bewegt! 12.18 Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig in derselben konstanten Flughöhe und befinden sich zum gleichen Zeitpunkt über den Punkten (100 | 320) bzw. (4 000 | 320). Eine Stunde später befinden sie sich über den Punkten (800 | 920) bzw. (3 500 | 820) (Koordinaten in Kilometer). 1) Zeige, dass die beiden Flugbahnen einander über dem Punkt S = (2200 | 2120) kreuzen! 2) Besteht die Gefahr eines Zusammenstoßes (dh. befinden sich die Flugzeuge zur selben Zeit im Punkt S)? AUFGABEN R AUFGABEN R Ó Lernapplet 8py4m8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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