242 GRUNDKOMPETENZEN Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen können, über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. Geraden durch Parameterdarstellungen in R 2 bzw. durch Gleichungen in angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können. AG-R 2.5 AG-R 3.4 12 GERADEN IN R 2 12.1 Parameterdarstellung einer Geraden in R 2 Beschreibung einer Geraden durch Punkt und Richtungsvektor Eine Gerade kann durch zwei Punkte oder durch einen Punkt und einen „Richtungsvektor“ festgelegt werden. Definition Sind P und Q zwei verschiedene Punkte einer Geraden g, dann nennt man den Vektor → g = ⟶ PQ einen Richtungsvektor von g. 12.01 Die Gerade g verläuft durch die Punkte P = (1 | 1) und Q = (3 | 2). Gib drei weitere Punkte auf dieser Geraden an! LÖSUNG Richtungsvektor von g: →g = ⟶ PQ = (2 | 1) Man erhält Punkte auf g, wenn man von P aus Vielfache von →g abträgt. Ein Punkt X liegt genau dann auf g, wenn es eine reelle Zahl t gibt, sodass: X = P + t · →g = (1 | 1) + t · (2 | 1) Setzt man für t reelle Zahlen ein, erhält man Punkte auf g. Zum Beispiel: t = 2 w R = (1 | 1) + 2 · (2 | 1) = (5 | 3) t = 2,5 w S = (1 | 1) + 2,5 · (2 | 1) = (6 | 3,5) t = – 1 w T = (1 | 1) – 1 · (2 | 1) = (– 1 | 0) Definition Die Vektorgleichung X = P + t · →g nennt man eine Parameterdarstellung der Geraden g mit dem Parameter t [Betonung: Parámeter]. Satz Ist g eine Gerade der Ebene, P ein Punkt auf g und →g ein Richtungsvektor von g, dann gilt für alle X * R 2: X * g É X = P + t · →g für ein t * R R kompakt S. 257 g P Q g g P X g Ó Lernapplet vf44cy 1 2 3 4 P Q R S g 2. A. 1 2 3 4 5 6 T –2–1 0 1. A. Ó Lernapplet t9bd27 g P X g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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