24 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.5 Umformen von Termen und Gleichungen Äquivalenzumformungen von Termen Äquivalente Terme Zwei Terme, die die gleichen Variablen enthalten und die gleichen Belegungen der Variablen erlauben, heißen äquivalent (gleichwertig), wenn sie bei gleichen Belegungen der Variablen gleiche Werte ergeben. Zwischen äquivalenten Termen darf man ein Gleichheitszeichen (=) setzen. BEISPIELE • Die Terme (x + y) (x – y) und x 2 – y 2 sind äquivalent, denn für x und y darf man beliebige reelle Zahlen einsetzen und bei jeder Belegung von x und y ergeben sich gleiche Werte. Also gilt: (x + y) (x – y) = x 2 – y 2. • Die Terme (x + y) (x – y) und x 2 + y 2 sind nicht äquivalent, denn für x = 2 und y = 1 ergibt der erste Term die Zahl 3 und der zweite Term die Zahl 5. Eine Umformung eines Terms in einen äquivalenten Term bezeichnet man als Äquivalenzumformung. Um Terme in äquivalente Terme umzuformen, bedient man sich gewisser Termumformungsregeln, von denen einige wichtige im Folgenden angeführt und an Beispielen illustriert werden. Dabei sind A, B und C reelle Zahlen. BEACHTE beim Anwenden solcher Regeln stets die Hierarchie der Rechenoperationen: Klammern vor Potenzen vor Punktrechnungen vor Strichrechnungen. 1. Klammernauflösungsregeln zB: A – (B + C) = A – B – C BEISPIEL 5x+y–(x–3)=5x+y–x+3=4x+y+3 2. D istributivgesetze zB: A · (B – C) = A · B – A · C Von links nach rechts bedeuten die Distributivgesetze Multiplizieren einer Zahl mit einem Term in Klammern, von rechts nach links gelesen Herausheben eines gemeinsamen Faktors. BEISPIELE Multiplizieren: 3·(x–y)+2y=3x–3y+2y=3x–y Herausheben: x 2 y–y=y·(x2 – 1) y – 2xy2 = x y · (x – 2 y) 3. M ultiplizieren von Termen in Klammern zB: (A + B) · (C – D) = A · C + B · C – A · D – B · D BEISPIEL (x+2y)·(x–y)=x 2 + 2xy – xy – 2y2 = x 2 + xy – 2y2 4. Binomische Formeln (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 (A – B) 2 = A 2 –2AB+B2 (A+B)·(A–B)=A2 – B 2 BEISPIELE ( 2x + 3y) 2 – 12x2 = 4x2 +12xy + 9y2 –12xy = 4x2 + 9y2 x 2 – (x – 3 y)2 = x 2 – (x 2 – 6xy + 9y2) = x 2 – x 2 + 6xy – 9y2 = 6xy – 9y2 (x+3y)·(x–3y)=x2 – 9y2 R kompakt S. 33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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