235 11.6 Parallele und normale Vektoren Allgemein gilt der folgende Satz, dessen Beweis wir im Abschnitt 13.1 führen werden. Satz (Orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a , → b * R 2 sind genau dann zueinander normal, wenn → a · → b = 0 ist. BEMERKUNG Will man die Orthogonalität der Vektoren →a und → bunabhängig von der Geometrie definieren, kann man das Orthogonalitätskriterium als Definition verwenden. Satz Ist (a 1 | a 2) ein Vektor aus R2, dann sind (– a 2 | a 1) und (a 2 | – a 1) Normalvektoren dieses Vektors mit gleichem Betrag. BEWEIS ( a 1 a 2) · ( – a 2 a 1) = a1 · (– a2) + a2 · a1 = 0, ( a 1 a 2) · ( a 2 – a 1) = a1 · a2 + a2 · (– a1) = 0 | ( – a 2 a 1) | = � _________ (– a 2) 2 + a 1 2 = � _______ a 1 2 + a 2 2 , | ( a 2 –a 1) | = � _________ a 2 2 + (– a 1 2) = � _______ a 1 2 + a 2 2 BEACHTE Neben (– a2 | a 1) und (a 2 | – a 1) sind auch alle positiven oder negativen Vielfachen dieser Vektoren Normalvektoren von (a 1 | a 2). 11.75 Gib zwei Normalvektoren zum Vektor →aan! Überprüfe jeweils durch eine Zeichnung! a) →a = (1 | 4) c) →a = (0 | 7) e) →a = (2 | – 3) g) →a = (5 | 2) b) →a = (– 7 | 3) d) →a = (– 6 | – 6) f) →a = (5 | – 5) h) →a = (6 | – 1) 11.76 Überprüfe mit Hilfe des skalaren Produkts, ob →a zu → bnormal ist! a) →a = (4 | 6), → b = (– 12 | 8) b) →a = (3 | 4), → b = (– 8 | – 6) c) →a = (6 | 0), → b = (0 | 6) 11.77 Was trifft auf die Vektoren →a und → bzu? Kreuze an! → a u → b → a © → b weder → a u → b noch → a © → b →a = (– 3 | 7), → b = (9 | – 21) →a = (4 | – 9), → b= (18 | 8) →a = (– 5 | – 6), → b = (– 10 | 12) →a = (– 2 | 1, 5), → b= (15 | 20) 11.78 Die vier Punkte ABCD bilden ein Rechteck. Ergänze die fehlende Koordinate des Punktes C, ermittle die Koordinaten des Punktes D sowie die Längen der Seiten des Rechtecks! a) A = (2 | 0), B = (6 | 2), C = (3 | c 2) c) A = (– 8 | 1), B = (0 | 3), C = (– 1 | c 2) b) A = (– 3 | 1), B = (0 | – 2), C = (c1 | 2) d) A = (– 2 | – 2), B = (6 | – 8), C = (c1 | – 4) 11.79 Von einem im Gegenuhreigersinn beschrifteten Quadrat kennt man zwei benachbarte Eckpunkte. Ermittle rechnerisch die beiden fehlenden Eckpunkte! a) A = (2 | 1), B = (7 | 3) b) B = (3 | – 4), C = (8 | 1) c) C = (0 | 2), D = (4 | 6) 11.80 Von einem im Gegenuhrzeigersinn beschrifteten Quadrat ABCD mit dem Mittelpunkt M kennt man zwei Punkte. Ermittle rechnerisch die beiden fehlenden Eckpunkte! a) A = (– 3 | 1), C = (5 | 5) b) B = (4 | 1), D = (– 8 | 7) c) A = (– 1 | 4), M = (6 | 3) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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