234 11 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND DEREN RECHENOPERATIONEN 11.72 Untersuche, ob die Vektoren →a = ( 1 _ 2 | – 3 _ 4 ) und → b = ( 2 _ 9 | – 1 _ 3 ) zueinander parallel sind! LÖSUNG Man kann nicht sofort erkennen, ob → bein Vielfaches von →aist. Wir setzen daher an: → b = r · →a É ( 2 _ 9 – 1 _ 3 ) = r · ( 1 _ 2 – 3 _ 4 ) É { 2 _ 9 =r· 1 _ 2 – 1 _ 3 =r·(– 3 _ 4 ) É r = 4 _ 9 . Also ist → b = 4 _ 9 · →a , dh. →a u → b . 11.73 Untersuche, ob die Vektoren →a und → bzueinander parallel sind! a) →a = ( 1 _ 2 | 1 _ 5 ) , → b = ( 3 _ 10 | 2 _ 25 ) b) →a = (– 1 _ 3 | 5 _ 6 ) , → b = (– 1 _ 5 | 1 _ 2 ) c) →a = (2 | 1 _ 3 ) , → b = ( 5 _ 3 | 2 _ 9 ) Normale Vektoren R Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a und → b in R 2 nennen wir zueinander normal bzw. zueinander orthogonal, wenn die zugehörigen Pfeile zueinander normal sind. Wir schreiben kurz: → a © → b Wir sagen in diesem Fall auch, dass jeder der beiden Vektoren ein Normalvektor des anderen ist. 11.74 Stelle die Vektoren →a , →n 1 und →n 2 durch Pfeile von O aus dar und berechne die Skalarprodukte →a · →n 1 und →a · →n 2 ! Was fällt auf? a) →a = (3 | 2), →n 1 = (– 2 | 3), →n 2 = (2 | – 3) b) →a= (a 1 | a 2), →n 1 = (–a2 | a 1), →n 2 = (a 2 | – a 1) LÖSUNG a) b) 1. A. 2. A. 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 a n1 n2 1. A. 2. A. a2 a1 –a2 a2 a1 –a1 a n1 n2 →a · →n 1 = (3 | 2) · (– 2 | 3)=3·(–2)+2·3=0 →a · →n 2 = (3 | 2) · (2 | –3)=3·2+2·(–3)=0 →a © →n 1 , →a © →n 2 und →a · →n 1 = →a · →n 2 = 0 →a · →n 1 = (a 1 | a 2)·(–a2 | a 1) = a 1 · (– a2) + a 2 · a 1 = 0 →a · →n 2 = (a1 | a 2) · (a 2 | – a 1) = a 1 · a 2 + a 2 · (– a1) = 0 →a © →n 1 , →a © →n 2 und →a · →n 1 = →a · →n 2 = 0 Aus den Abbildungen in Aufgabe 11.74 kann man erkennen: Der Übergang von →a= (a 1 | a 2) zu • →n 1 = (–a2 | a 1) entspricht einer Drehung des zu →agehörigen Pfeils um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn („Linkskippung“). • →n 2 = (a 2 | – a 1) entspricht einer Drehung des zu →agehörigen Pfeils um 90° im Uhrzeigersinn („Rechtskippung“). a b kompakt S. 236 Ó Lernapplet ch6k75 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=