233 11.6 Parallele und normale Vektoren 11.6 Parallele und normale Vektoren Parallele Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren → a und → b aus R2 nennen wir zueinander parallel, wenn die zugehörigen Pfeile parallel sind. Wir schreiben kurz: → a u → b Stellt man die Vektoren →a und → bdurch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dar, so erkennt man unmittelbar: Die Pfeile sind genau dann parallel, wenn sie durch Streckung mit einem Faktor r * R* auseinander hervorgehen, dh. wenn → b=r·→a gilt. Satz (Parallelitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren →a und → b in R 2 sind genau dann zueinander parallel, wenn → b=r·→a mit r * R* gilt. Merke: Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren aus R2 sind genau dann parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. BEMERKUNG Will man die Parallelität der Vektoren →a und → bunabhängig von der Geometrie definieren, kann man das Parallelitätskriterium als Definition verwenden. 11.66 Gib drei verschiedene Vektoren an, die zum Vektor →aparallel sind! a) →a = (3 | 5) c) →a = (– 4 | – 4) e) →a = (2 | – 8) g) →a = (– 5 | 2) b) →a = (– 6 | 3) d) →a = (7 | 0) f) →a = (5 | – 5) h) →a = (6,5 | – 1,5) 11.67 Prüfe durch Zeichnung und Rechnung, ob die Vektoren →a und → bparallel sind! a) →a = (2 | 1), → b = (6 | 3) c) →a = (3 | 3), → b = (– 3 | 3) e) →a = (0 | 7), → b = (7 | 0) b) →a = (– 3 | 4), → b = (– 6 | 3) d) →a = (3 | 3), → b = (– 4 | – 4) f) →a = (3 | 6), → b = (2 | 4) 11.68 Die Vektoren →a und → bsind parallel. Ermittle die unbekannten Koordinaten! a) →a = (2 | a 2), → b = (6 | 3) c) →a = (– 5 | – 3), → b = (10 | b2) e) →a = (a 1 | 3), → b = (5 | – 6) b) →a = (a 1 | 4), → b = (– 6 | 3) d) →a = (– 4 | – 2), → b = (b1 | 2) f) →a = (3 | a 2), → b = (– 4 | – 4) 11.69 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob die Punkte A, B, C auf einer Geraden liegen! HINWEIS Die Punkte A, B und C liegen genau dann auf einer Geraden, wenn ⟶ AB u ⟶ AC ist. a) A = (– 3 | 5), B = (1 | 1), C = (3 | 0) c) A = (– 1 | –5),B = (3 | 3), C = (6 | 9) b) A = (– 6 | 7),B = (–2 | 3), C = (1 | 0) d) A = (– 3 | –3),B = (1 | 1), C = (4 | 6) 11.70 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist! a) A = (2 | 1), B = (7 | 3), C = (8 | 7), D = (3 | 5) c) A = (– 1 | –3),B = (5 | 1), C = (8 | 5), D = (2 | 1) b) A = (– 1 | 1), B = (5 | 0), C = (9 | 3), D = (3 | 4) d) A = (– 1 | –3),B = (6 | 0), C = (0 | 5),D = (–2 | 1) 11.71 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist! a) A = (1 | 1), B = (7 | 3), C = (5 | 6), D = (2 | 5) c) A = (– 4 | –4),B = (6 | –1), C = (4 | 2),D = (–3 | 5) b) A = (– 3 | –3),B = (8 | –3),C = (6 | 6),D = (–2 | 3) d) A = (– 2 | 2), B = (6 | 0), C = (8 | 6), D = (–1 | 5) R a b u u AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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