231 11.5 Betrag eines Vektors 11.5 Betrag eines Vektors Länge eines Pfeils Bei der Pfeildarstellung eines Vektors ist oft die Länge des Pfeils von Interesse. Nebenstehend sind ein Geschwindigkeits- und ein Kraftvektor dargestellt. Die Pfeillänge gibt den Betrag der Geschwindigkeit bzw. Kraft an. 11.54 Stelle den Vektor 1) (4 | 3), 2) (a 1 | a 2) als Pfeil dar und berechne dessen Länge mit dem pythagoräischen Lehrsatz! LÖSUNG 1) 2. A. 1. A. 3 4 a Länge des Pfeils = � _____ 4 2 + 3 2 = 5 2) 2. A. 1. A. |a1| |a2| a Länge des Pfeils = � _________ | a 1 | 2 + | a 2 | 2 = � _______ a 1 2 + a 2 2 Überlege, dass dies auch für a 1 = 0 oder a2 = 0 gilt! Definition Unter dem Betrag des Vektors →a= (a 1 | a 2) * R 2versteht man die reelle Zahl | → a | = � _____ a 1 2 + a 2 2 . Merke Dem Betrag eines Vektors entspricht geometrisch die Länge eines dem Vektor zugeordneten Pfeils. Satz (Rechengesetze für den Betrag) (1) Für alle →a * R 2 und alle r * R gilt: †r · →a † = †r† · † → a † (2) Für alle →a * R 2 gilt: | →a | 2 = →a 2 BEWEIS Wir setzen →a= (a 1 | a 2). (1) †r · →a † = †(r · a 1 | r · a 2)† = � _____________ (r · a 1) 2 + (r · a 2) 2 = � ____________ r 2 · a 1 2 + r 2 · a 2 2 = � __ r 2 · � _______ a 1 2 + a 2 2 = †r† · † → a † (2) Für →a= (a 1 | a 2) gilt: † → a † 2 = � _______ a 1 2 + a 2 2 2 = a 1 2 + a 2 2 = (a 1 | a 2) · (a 1 | a 2) = →a · →a = | → a | 2 Merke Das Quadrat des Betrags eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Vektors. R 100 N 150 m/s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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